浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二下学期学业水平考试模拟三数学试题（含答案解析）.docx

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浙江省杭州学军中学2024-2025学年高二下学期学业水平考试模拟三数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．若，则（???）.

A． B． C． D．

3．已知，则（???）

A． B． C． D．

4．设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为（????）

①，，则；???②，，，则；

③，，，则；④，，，则．

A．①③ B．②③ C．②④ D．③④

5．已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（???）

A． B． C． D．

6．已知向量满足，则在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

7．在正四棱台中，，，且异面直线与所成的角为60°，则该正四棱台的体积为（???）

A． B． C． D．

8．函数的图象如图所示，其中，为常数，则下列结论正确的是（???）

A．， B．，

C．， D．，

9．已知，，则“，”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．我们的数学课本《人教A版必修第一册》第121页的《阅读与思考》中介绍：“一般地，如果某物质的半衰期为h，那么经过时间t后，该物质所剩的质量，其中是该物质的初始质量.”现测得某放射性元素的半衰期为1350年（每经过1350年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该放射性元素的初始存量为m，经检测现在的存量为.据此推测该生物距今约为（????）（参考数据：）

A．2452年 B．2750年 C．3150年 D．3856年

11．如图，在等腰梯形中，．现将沿对角线所在的直线翻折成，记二面角大小为，则（????）．

A．存在，使得平面 B．存在，使得

C．不存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面

12．已知，，函数的图象与函数的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若是边长为12的等边三角形，则函数的最大值为（???）

A．6 B． C．12 D．

二、多选题

13．已知对数函数的图象过点，则下列结论正确的是（???）

A． B． C． D．

14．如图，在长方体中，，，E为的中点，则下列结论正确的是（???）

A．平面 B．平面

C．四面体的体积等于 D．经过AB的平面截该长方体的截面面积的最大值为

15．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，的周长为12，面积为6，则（???）

A．内切圆的半径为1 B．外接圆的半径为6

C． D．

三、填空题

16．已知事件与互斥，且，，则.

17．已知，，且，则的最小值为.

18．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，二面角为，则三棱锥外接球的半径为．

19．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，点P在线段CH上，且，则的值为；若点Q为线段CD上的动点，则的最小值为．

四、解答题

20．已知函数，.

(1)求的值及的单调递增区间；

(2)若在区间上最大值为2，求实数的取值范围.

21．2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值;

(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数;

(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.

（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差）

22．已知函数，.定义，设，，为常数.

(1)当时，判断函数的奇偶性；

(2)定义区间的长度为.若的解集为，问是否存在，使得的全部区间长度之和等于6，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

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