函数的极限重要极限无穷大与无穷小.pptxVIP

第四节函数的极限一、函数极限的定义二、函数极限的性质和计算三、无穷小量与无穷大量四、小结与思考判断题

一、函数极限的定义本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就叫作在这一过程中函数的极限.函数的极限与自变量的变化过程有关.自变量的变化过程不同，函数极限的形式就不同.主要研究两种情形：

函数的极限六种存在形式即函数极限的两种主要形式如下

1.自变量趋于有限值时函数的极限考虑自变量趋近于有限值，记这一变化过程为仿照数列极限的定义，给出时函数的极限的定义.

则

讨论单侧极限函数值无限接近于2.函数值无限接近于2.2

左极限右极限记作

左右极限存在但不相等,例1证结论：

小结注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限.证明函数极限不存在的方法是:证明左极限与右极限至少有一个不存在；或证明左极限和右极限均存在,但不相等。

2.自变量趋于无穷大时函数的极限自变量表示及，对正数，表示及.定义2如果对于任意给定的正数（不论它多么小）总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式那么常数就叫函数当时的极限，记作

另两种情形:结论：

二、函数极限的性质1.局部有界性定理若在某个过程下,)(xf有极限,则存在过程的一个时刻,在此时刻以后)(xf有界.定理,2.唯一性若)(limxf存在则极限唯一.

3.局部保号性A定理(保号性)B推论

极限的四则运算法则定理1极限的运算法则

推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2推论3数,则

定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到或以及（3）中的某些情形：（1）当时，而时，（2）当时，而时，（3）当时，而时，（4）当时，而时，（5）当时，而时，

则商的法则不能应用．可用推广的.,0)(0若=xQ公式求．

例1求解当时，分子、分母的极限都为零，此时不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约去无穷小因子的方法将函数变形后求极限

例2求极限解当时，分子分母都趋于无穷大，用无穷大因子去除分子分母，然后再求极限．

又例:求解：原式例3求解:原式

极限存在准则

四、两个重要极限(1)注此结论可推广到

注意：解

例2求xxx3sinlim0?解xxx3sinlim0?解例4解

解当￥?n时,因此例6,有例5求解

例7求解于是练习解

利用数列公式(2)

用变量代换可求出

此结论可推广到注

注意：

例1解

例2解一般地例3求解一解二

例4求解例5解

解解解练习

解.解.4.

思考题

思考题解答不存在.左极限存在,右极限存在,

思考题求极限思考题解答

无穷小量与无穷大量一、无穷小量在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义定义1:在x的某一变化过程中,函数f(x)极限为零,称f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）.当例如:函数当时为无穷小;函数时为无穷小;

注意无穷小是变量,不能与很小的数混淆;无穷小称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；零是可以作为无穷小的唯一的数.12345

要性充分性意义05将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

无穷小的性质（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.（3）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.（4）常数与无穷小的乘积是无穷小.例1解

二、无穷大量记作记作注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.

三、无穷小与无穷大的关系意义据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则定理3在自变量的同一变化过程中,0C型再利用无穷小与无穷大之间的关系,可得:解

例3解(无穷小因子分出法)【注】对￥￥型的有理式函数的极限,由于分子分母极限为￥,极限不存在,不能用法则,先对分子、分母同除以x的最高次幂再求极限。

￥-￥型【注】对￥-￥型的有理式函数求极限,先通分,后求极限。例4解原式

练习：求解一般地,设0,00011ba,nm