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用空间向量的方法解立体几何问题

高考考点

考点解读

利用空间向量证明平行与垂直关系

1.建立空间直角坐标系，利用向量的知识证明平行与垂直

2．考查向量的数量积与向量垂直的关系以及建立空间直角坐标系的方法

利用空间向量求线线角、线面角、面面角

以具体几何体为命题背景，直接求角或已知角求相关量

利用空间向量解决探索性问题或其他问题

1.常借助空间直角坐标系，设点的坐标探求点的存在问题

2．常利用空间向量的关系，设某一个参数，利用向量运算探究平行、垂直问题

备考策略

本部分内容在备考时应注意以下几个方面：

(1)加强对空间向量概念及空间向量运算律的理解，掌握空间向量的加、减法，数乘、数量积运算等．

(2)掌握各种角与向量之间的关系，并会应用．

(3)掌握利用向量法求线线角、线面角、二面角的方法．

预测命题热点：

(1)二面角的求法．

(2)已知二面角的大小，证明线线、线面平行或垂直．

(3)给出线面的位置关系，探究满足条件的某点是否存在.

知识整合

1．向量法求空间角

(1)异面直线所成的角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cosθ＝____.

(2)线面角

设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足sinθ＝____.

(3)二面角

①如图(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________.

②如图(ⅱ)(ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足______________________.

(4)点到平面的距离的向量求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝_________.

2．利用向量方法证明平行与垂直

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．

(1)线线平行

l∥m?a∥b?a＝kb?__a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2__.

(2)线线垂直

l⊥m?a⊥b?a·b＝__0__?__a1a2＋b1b2＋c1c2＝0__.

(3)线面平行

l∥α?a⊥μ?a·μ＝__0__?__a1a3＋b1b3＋c1c3＝0__.

(4)线面垂直

l⊥α?a∥μ?a＝kμ?__a1＝ka3，b1＝kb3，c＝kc3__.

(5)面面平行

α∥β?μ∥v?μ＝kv?__a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4__.

(6)面面垂直

α⊥β?μ⊥v?μ·v＝__0__?__a3a4＋b3b4＋c3c4＝0__.

3．模、夹角和距离公式

(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

|a|＝eq\r(a·a)＝__eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))__，

cos〈a，b〉＝__eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))__.

(2)距离公式

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2).

易错警示

1．利用向量证明位置关系时，因没有交代清楚定理的条件致误

利用空间向量证明平行、垂直关系时，对于法向量的平行、垂直一定交代清楚涉及向量所在的直线、平面是否满足定理的条件．例如证明l∥α，需要证明l的方向向量与平面的法向量垂直，但一定要交代l?α这一条件．

2．在求角的时候忽略角的范围致误

应用空间向量求角的时候，易忽视异面直线所成角的范围(0，eq\f(π,2)]；二面角的范围[0，π]．

3．角的理解和公式的记忆不准确致误

在求异面直线所成的角的时候，注意异面直线所成角的应是其方向向量的夹角或补角；二面角应是其法向量的夹角或补角．空间向量求直线和平面的夹角公式是sinθ＝eq\f(l·n,|l|·|n|)(l是直线的方向向量，n是平面的法向量)．

感悟真题，体会规律

1．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1)证明：MN∥平面C1DE；

(2)求二面角A－MA1－N的正弦值．

2．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；

(2)若AE＝A