2025北京北师大附中高一（下）期末数学（教师版）.docx

第PAGE1页/共NUMPAGES1页

2025北京北师大附中高一（下）期末

数学

班级：姓名：学号：

考生须知

1.本试卷有三道大题，共7页.考试时长120分钟，满分150分.

2.考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.

3.考试结束后，考生应将答题纸交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知是角终边上一点，则（）

A. B. C. D.

3.已知向量，，若与垂直，则（）

A.2 B. C. D.4

4.已知圆锥的底面半径为1，体积为，则它的侧面积为（）

A. B. C. D.

5.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，，则 D.若，，则

6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象

A.向右平移个单位 B.向左平移个单位

C.向右平移个单位 D.向左平移个单位

7.函数（，，）的部分图象如图所示，则与函数在区间上的零点分别为（）

A.2， B.2， C.1， D.1，

8.在△ABC中,“”是“△ABC是钝角三角形”的（）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍[chúméng]”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，棱.若此几何体中，，，和都是边长为4的等边三角形，则此几何体的体积为（）

A. B. C. D.

10.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音，若一个复合音的数学模型是函数（），则下列结论正确的是（）

A.的一个周期为 B.的最大值为

C.的图象关于直线对称 D.在区间上有3个零点

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________.

12.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边.若，，，则__________.

13.已知等边三角形ABC的边长为2，则__________；若，则

__________.

14.在长方体中，点E为棱上任意一点，点F为底面（除点外）上一点，请给出一个点F的位置，使得，点F可以是__________.

15.在棱长为1的正方体中，点E在线段上运动，则下列说法正确的是______.

①点E从点C运动到点的过程中，三棱锥的体积不变；

②对于每一个点E，在棱DC上总存在一点Q，使得平面；

③平面截正方体所得截面图形的面积的取值范围为；

④二面角的平面角的正切值最大为.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）当时，求函数的值域.

17.在正方体中，点E和点F分别为和的中点.

（1）证明：平面；

（2）证明：平面.

18.在中，.

（1）求；

（2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.

条件①：；

条件②：；

条件③：.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

19.已知函数，且.

（1）求a的值和函数的最小正周期；

（2）求不等式的解集；

（3）在中，，，AD为BC边上的中线，设，，请直接写出的值和BC的长.

20.如图，在四棱锥中，平面平面，，底面为矩形，，；点在线段上，且.

（1）设平面平面，证明：；

（2）证明：；

（3）线段CA和线段CD上是否分别存在点M和点N，使平面平面PBC？若存在，写出CM和CN的长，并证明；若不存在，请说明理由.

21.已知，用表示不超过x的最大整数，例如，，.对于函数，若存在，，使得，则称函数是“函数”.

（1）判断函数，是否是“函数”；

（2）设函数是定义在上的周期函数，最小正周期是T，若不是“函数”，求T的最小值；

（3）若函数是“函数”，求a的取值范围.

参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.【答案】D

【分析】化简复数，求出共轭复数即可判断对应