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DSP第二章题目及答案

一、选择题（每题2分，共10分）

1.在数字信号处理中，离散傅里叶变换（DFT）的周期是：

A.2π

B.N

C.2N

D.π

2.快速傅里叶变换（FFT）算法的主要优点是：

A.计算精度高

B.计算速度快

C.存储空间小

D.实时性好

3.下列哪个算法不是用于线性相位FIR滤波器设计的？

A.窗函数法

B.频率采样法

C.切比雪夫多项式法

D.巴特沃斯滤波器法

4.在数字信号处理中，混叠现象是由于：

A.信号带宽不足

B.采样频率过低

C.信号幅度过大

D.信号相位失真

5.离散时间信号的Z变换是连续时间信号傅里叶变换的：

A.时域表示

B.频域表示

C.复频域表示

D.时频域表示

二、填空题（每题2分，共10分）

1.离散傅里叶变换（DFT）的数学表达式为：X[k]=Σx[n]e^(-j2πkn/N)，其中N是信号的______。

2.快速傅里叶变换（FFT）算法中，最常用的是______算法。

3.线性相位FIR滤波器的频率响应满足______条件。

4.奈奎斯特采样定理指出，采样频率至少应为信号最高频率的______倍。

5.Z变换的收敛域（ROC）是指所有使Z变换收敛的复数z组成的集合，它与信号的______有关。

三、简答题（每题5分，共20分）

1.简述离散傅里叶变换（DFT）的基本性质。

2.快速傅里叶变换（FFT）算法有哪些主要类型？

3.线性相位FIR滤波器设计中，窗函数法和频率采样法的主要区别是什么？

4.混叠现象是如何产生的？如何避免混叠？

四、计算题（每题10分，共20分）

1.给定一个长度为8的离散时间信号x[n]，其值为x[0]=1,x[1]=2,x[2]=3,x[3]=4,x[4]=5,x[5]=6,x[6]=7,x[7]=8。计算该信号的DFT，并给出结果。

2.给定一个长度为8的离散时间信号x[n]，其值为x[0]=1,x[1]=2,x[2]=3,x[3]=4,x[4]=5,x[5]=6,x[6]=7,x[7]=8。使用快速傅里叶变换（FFT）算法计算该信号的DFT，并给出结果。

五、综合题（每题15分，共30分）

1.给定一个离散时间信号x[n]，其Z变换为X(z)=(1-az^-1)/(1-bz^-1)，其中a和b是常数。求该信号的时域表达式，并分析其稳定性。

2.设计一个线性相位FIR滤波器，其频率响应满足H(e^(jω))=1，当0≤ω≤π/4；H(e^(jω))=0，当π/4ω≤π。使用窗函数法和频率采样法分别设计，并比较两种方法的结果。

六、编程题（每题20分，共20分）

1.编写一个程序，实现快速傅里叶变换（FFT）算法。输入一个长度为N的离散时间信号，输出其DFT结果。要求程序能够处理任意长度的信号，并具有良好的数值稳定性。

答案：

一、选择题

1.B

2.B

3.C

4.B

5.C

二、填空题

1.长度

2.Cooley-Tukey

3.H(ω)=H(-ω)

4.2

5.稳定性

三、简答题

1.离散傅里叶变换（DFT）的基本性质包括：

-线性性质：aX[k]+bY[k]=X[k]a+Y[k]b

-时移性质：x[n-k0]的DFT为X[k]e^(-j2πk0k/N)

-频移性质：x[n]e^(j2πk0n/N)的DFT为X[k]δ[k-k0]

-卷积性质：x[n]h[n]的DFT为X[k]H[k]

-帕塞瓦尔定理：Σ|x[n]|^2=(1/N)Σ|X[k]|^2

2.快速傅里叶变换（FFT）算法的主要类型包括：

-Cooley-Tukey算法：最常用的FFT算法，采用分而治之的思想，将DFT分解为更小的DFT

-Rader算法：适用于因子为2的幂次的FFT算法

-Bluestein算法：适用于任意长度的FFT算法

-Primefactor算法：适用于因子为素数的FFT算法

3.线性相位FIR滤波器设计中，窗函数法和频率采样法的主要区别：

-窗函数法：通过在理想频率响应上乘以窗函数来设计滤波器，适用于低通、高通、带通和带阻滤波器

-频率采样法：通过在理想频率响应的采样点上设计滤波器，适用于低通、高通、带通和带阻滤波器

4.混叠现象是由于采样频率过低引起的。当信号的采样频率低于信号最