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提分练习10巧用一次函数解决方案设计与选择问题

分类训练

类型一合理决策问题

1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8000元.设商场投入资金x元，请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多.

类型二方案选择问题

2.某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案.甲宾馆是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙宾馆是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人，你认为选择哪家宾馆更实惠些？

3.【中考·自贡】甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销.甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折.

（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数表达式；

（2）如何选择这两家商场去购物更省钱？

类型三购物优惠问题

4.【2022·河南】近日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准》（2022年版）.将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.

（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.

（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠，求本次购买最少花费多少钱.

参考答案

1.解：设如果商场本月初出售，下月初可获利元，则=10%x+（1+10%）x·10%=0.1x+0.11x=0.21x.

设如果商场下月初出售，可获利元，则=25%x-8000=0.25x-8000.

当时，0.21x=0.25x-8000，解得x=200000.

所以若商场投入资金为20万元，两种出售方式获利相同；若商场投入资金少于20万元，本月初出售获利较多；若商场投入资金多于20万元，下月初出售获利较多.

2.解：设总人数是x人，甲、乙两家宾馆的收费分别为元、元.

当x≤35时，选择两家宾馆是一样的.

当35x≤45时，选择甲宾馆更实惠些.

当x45时，=35×120+0.9×120×（x-35）=108x+420，

=45×120+0.8×120×（x-45），

即=96x+1080.

当时，可得x=55；

当时，可得x55；

当时，可得x55.

综上可得，当x≤35或x=55时，选择两家宾馆是一样的；

当35x55时，选择甲宾馆更实惠些；

当x55时，选择乙宾馆更实惠些.

3.解：（1）由题意可得，=0.9x.

当0x≤100时，=x；

当x100时，=100+（x-100）×0.8=0.8x+20（0x≤100），

综上可得，

（2）当0x≤100时，此时选择甲商场购物更省钱；

当0.9x0.8x+20时，得100x200，所以当x200时，选择甲商场购物更省钱；

当0.9x=0.8x+20时，得x=200，即此时选择两家商场购物一样；

当0.9x0.8x+20时，得x200，即此时选择乙商场购物更省钱.

4.解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，

根据题意得，

解得x=20.

经检验，x=20是原方程的解.

答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元.

（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100-m）捆.

∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，

∴m≤100-m，

解得m≤50.

设本次购买花费w元.

则w=20×0.9m+30×0.9（100-m）=-9m+2700.

∵-90，

∴w随m的增大而减小，

∴m=50时，w取最小值，最小值为-9×50+2700=2250.

答：本次购买最少花费2250元.