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一道中考试题的解法探究及思考

摘要：解题研究是数学教师的基本素养与能力，也是教学研究的重要组成部分。教师在中考复习阶段应引导学生分析往年各地典型中考题的结构，展示题目的多种解法。教师要重视教材，落实学科育人；精选试题，启迪思考视角；结构分析，促使思维生长；分析总结，发展核心素养，

从而提升学生解决问题的实践能力和创新意识。

关键词：双减，解法，结构，核心素养。

中考题是“诊断、预测、甄别、选拔”的一把尺子，每年的中考试题中，经常会出现一些考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、几何直观等核心素养的试题，这些试题往往能从不同的角度思考，利用不同的知识或方法解决。在“双减”政策背景下，解题方法的灵活性、多样性，值得每位教师深入研究，并落实到平时的教学中。本文笔者以2022年四川省泸州市中考数学题第12题为例，对其进行结构分析、模型说明、课本原型、解法探究和解题感悟，与同行分享交流。

一、试题呈现

如图1，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）

A． B． C． D．1

二、结构分析

条件分析 图1

10四边形ABCD是边长为3的正方形，且BE＝2AE，则BE=2，AE=1，接着由勾股定理算出DE= 。由题意可知∠A＝∠CBA=∠C=∠CDA=∠DEF=90°,∠FBG=∠FBC=45°,由

10

以上条件可以判断本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质，勾股定理等相关

知识，通过计算和推理可以进一步得到∠EDF=45°，由此本题中隐藏了半角模型的知识。

结论分析

对于结论“求MN的长”，由于MN在线段BC上，所以我们就自然联想到要求BM和NC

的长，根据条件分析，要利用勾股定理、全等、相似的知识来计算。

1

图形分析

通过本题图形，可以提炼出一下图形，图形中包含了一线三等角（相似和全等），半角模型等知识。

45°D D C

45°

FD

F

N

M

A E B A E B G

A E B

三、模型说明

模型一：

如图2，在正方形ABCD中,点E,N分别是AB、BC上的动点,且∠EDN＝45°.试猜想：线段AE,NC和EN之间的数量关系.

45°45°45°C D C D C

45°

45°

45°

N N N

A 图2E

B

K A 图3 E

K A E B

B 图4

分析：本题的证明分两步：第一步将△DCN绕D点顺时针旋转90°得到△DAK，如图3，从而得到AK=CN；第二步证明△DKE≌△DEN，得到KE=EN，如图4，接着就可以说明EN=AE+NC.

模型二：

如图5，在正方形ABCD中,点E,N分别是AB、BC上的动点,且∠EDN＝45°,连接AC

分别与DE、DN交于K、Q.

试猜想：线段AK,QC和KQ之间的数量关系.

分析：为了便于探究线段AK,QC和KQ之间的数量关系，现在把△DAC从正方形中分离出来，如图6，接下来将△DAK绕D点逆时针旋转90°得到△DCK′，如图7，得到CK′=AK，DK′=DK，∠K′DC＝∠KDA，∠A＝∠DCK′=∠DCA=45°可进一步推出∠

6 K′DQ＝∠KDQ；接着连接QK，如图8，通过SAS的方法证明△KDQ≌△KDQ，

所以QK′=QK.，易知∠QCK＝90°，所以QC2+CK′2＝QK′2,因为CK′=AK，

2

QK′=QK，所以AK2+CQ2＝KQ2.

DCN

D

C

N

45°

Q

K

45°

K

图6

Q

A

D D

KCAKC

K

CA

K

C

图7

Q

K

A K

Q

C

图8

EA B

E

图5

四、课本原型

人教版教材八年级下册第18章复习题第14题.如图9，四边形ABCD是正方形，点E

是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.

1 1

证法一思路：如图10，取AB的中点G,连接EG.易知AG=GB=BE=EC=AB=BC，

2 2

∴△GBE为等腰直角三角形，∴∠BGE＝45°,∴∠AGE＝135°又∵CF是角平分线，∴∠ECF＝∠BCE+∠BDCF=90°+45°=135°

易证∠1=∠2，接下来通过ASA的方法证明△AGE≌△ECF，所以AE=EF.

证法二思路：如图11，延长AB至G，使得BG=BE，连接CG、GE，可以证明△ABE≌△CBG