第15讲重难点专题拓展二次函数综合之六种存在性问题（6知识点6大核心考点过关测）原卷版.docx

第15讲重难点专题拓展：二次函数综合之六种存在性问题

（6知识点+6大核心考点+过关测）

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：6大核心考点精准练

第二步：记

串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点01：等腰三角形存在性

根据等腰三角形的定义，若为等腰三角形，则有三种可能情况：

（1）AB=BC；（2）BC=CA；（3）CA=AB．

但根据实际图形的差异，其中某些情况会不存在，所以等腰三角形的存在性问题，往往有2个甚至更多的解，在解题时需要尤其注意．

1、知识内容：

在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：

（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；

（2）两点间距离公式：设A（x1，y1）、B（x2，y2）

2、解题思路：

（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．

知识点02：直角三角形存在性

在考虑△ABC是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①∠A=90°；②∠B=90°；③∠C=90°．在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考察重点，需要用到勾股定理。

1、知识内容：

在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等或者勾股定理的计算来确定直角三角形．

2、解题思路：

（1）按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

（2）计算出相应的边长等信息；

（3）根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标．

知识点03：相似三角形的存在性

寻找相等角：这是解题的重要突破口。有些相等角比较明显，如公共角、对顶角、直角等；有些则需要通过计算三角函数值、利用平行线性质或三角形内角和定理等来推导，还可通过构造全等三角形、等腰三角形等得到相等角。

确定相似三角形的对应关系：若已知一个确定的三角形，要使另一个含动点的三角形与之相似，需分情况讨论对应关系。因为两个三角形相似时，对应角相等，对应边成比例，而未明确对应关系时，通常有多种可能。

根据相似三角形的性质列方程求解：

导边处理：若已找到一组相等角，可根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理，分两种情形，以相等角的两邻边对应成比例来列方程。

导角处理：根据“有两组角对应相等的三角形相似”，在已确定一组相等角的基础上，分两种情形讨论另外两组角的对应相等关系，即若∠A=∠D，则讨论∠B=∠E或∠B=∠F的情况。通过导角，将问题转化为角的存在性问题，再利用角的关系求出动点坐标。

解决二次函数中相似三角形存在性问题，要充分结合二次函数与三角形的相关知识，通过寻找相等角、确定对应关系、列方程求解等步骤，逐步得出答案，同时注意分类讨论，避免漏解。

知识点04：平行四边形的存在性

1.要先明确定点和动点，常以定点为对角线和边进行分类;

2.三定一动，有三种情况，可借助平移，全等、中点公式等知识确定坐标..(坐标平移规律:左减右加变x上加下减变y如何平移?可先确定其中两点的变化作参照，以此变化确定)

3.两定两动:以定线段作边或对角线，确定分类;常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标公式建等式求解

常见设问:已知A、B，求另外两点C、D与A、B两点构成平行四边形

分类讨论:

当AB为边时，找AB平行且等于的CD利用距离建立数量关系，求出相应点的坐标;

当AB为对角线时，AB的中点即为对角线的交点，结合图形的对称性，围绕对角顶点的横坐标和纵坐标之和分别相等进行求解，列出两个二元一次方程组来求解.

4.三动点或四动点:往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可

知识点05：矩形、菱形、正方形存在性

1.矩形：先满足平行四边形条件，再附加邻边垂直或对角线相等。

2.菱形：先满足平行四边形条件，再附加邻边相等（两点间距离相等）或对角线垂直。

3.正方形：同时满足矩形和菱形的条件（邻边相等且垂直），或对角线相等、垂直且互相平分。

知识点06：梯形存在性

问题形式：找一点构成梯形（一组对边平行）。

解题方法：利用平行边斜率相等，设动点坐标后，分情况讨论哪组对边平行（如AB∥CD或AC∥BD），列斜率等式求解，注意排除平行四边形的情况（两组对边都平行）。

等腰梯形附加两腰相等，直角梯形附加有一个角是直角。

【题型一：等腰三角形存在性】

(1)求平移后抛物线的表达式；

(2)如果点N平移后