2017-2018学年套餐之物理人教版选修3-4讲义第十一章机械振动_1.docx

4单摆

[学习目标]1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源.2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式.3.掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法．

一、单摆及单摆的回复力

[导学探究](1)如图1所示，小球和细线构成一个振动系统，在什么情况下能把该振动系统看成单摆？

图1

(2)小球受到几个力的作用？

(3)什么力充当了小球振动的回复力？

答案(1)如果细线的质量与小球的质量相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，该振动系统可看成单摆．

(2)小球受两个力的作用：重力和细线的拉力．

(3)重力沿圆弧切线方向的分力G1＝mgsinθ提供了使摆球振动的回复力，如图所示．

[知识梳理]

1．单摆

(1)如果细线的质量与小球的质量相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆．单摆是实际摆的理想化模型．

(2)单摆的平衡位置：摆球静止时所在的位置．

2．单摆的回复力

(1)回复力的来源：如图2所示，摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力(沿半径方向的合力提供向心力)．

图2

(2)回复力的特点：在偏角很小时，sinθ≈eq\f(x,l)，所以单摆的回复力为F＝－eq\f(mg,l)x，即小球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，单摆的运动可看成是简谐运动．

3．单摆的运动特点

在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律．

[即学即用]判断下列说法的正误．

(1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力．(×)

(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力．(√)

(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零．(×)

(4)单摆是一个理想化的模型．(√)

二、单摆的周期

[导学探究]如图3所示，摆长不同的两个单摆同时释放，我们可以观察到振动的周期不同．影响周期的因素可能有单摆的振幅、质量、摆长，如何研究周期与这些量的关系？请设计实验方案．

图3

答案由于变量比较多，所以需用控制变量法，按下面的方案进行探究：

(1)摆长、质量相同，两摆的振幅不同(都在小偏角情况下)．

(2)摆长、振幅相同，两摆摆球的质量不同．

(3)质量、振幅相同，两摆的摆长不同．

比较以上三种情况下两摆的周期，可以得到周期与振幅、质量、摆长之间的定性关系．

[知识梳理]单摆的等时性与单摆的周期公式

1．单摆振动的周期与摆球质量无关(填“有关”或“无关”)，与振幅无关(填“有关”或“无关”)．这是单摆的等时性，由伽利略发现，惠更斯得出了单摆的周期公式并发明了摆钟．

2．单摆的周期T＝2πeq\r(\f(l,g)).

(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立．

(2)g为单摆所在处的重力加速度，l为单摆的摆长．对于实际的单摆，摆长是指从悬点到摆球重心的长度，l＝l′＋eq\f(d,2)，l′为摆线长，d为摆球直径．

(3)等效摆长

图4(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来的效果是相同的，所以甲摆的等效摆长为lsinα，其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g)).

图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．

图4

(4)重力加速度g

与位置的关系：若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定，即g＝eq\f(GM,R2)，式中R为物体到地心的距离，M为地球的质量，G为引力常数，g随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同．g＝9.8m/s2只是在地球表面附近时的取值．

[即学即用]判断下列说法的正误．

(1)若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半．(×)

(2)如果重力加速度减为原来的四分之一，单摆的频率变为原来的一半．(√)

(3)单摆的周期与摆长成正比．(×)

(4)无论单摆的振幅多大，单摆的周期都是2πeq\r(\f(l,g)).(×)

(5)一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期．(√)

三、用单摆测定重力加速度

1．实验原理

由T＝2πeq\r(\f(l,g))，得g＝eq\f(4π2l,T2)，则测出单摆的摆长l和周期T，即可求出当地的重力加速度．

2．实验器材

铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1m左右)、刻度尺、游标卡尺．

3．实验步骤

(1)让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．

(2)将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．

(3)用刻度尺量出悬线长l′(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm)，则摆长为l＝l′＋eq\f(d,2).

(4)把单摆拉