代数结构课件.pptVIP

期中復習第一、二章作業選講期中復習第三章 集合與關係1）集合的概念和表示法集合元素子集真子集空集全集冪集外延性原理定理3-1.1定理3-1.2定理3-1.32）集合的運算交並補絕對補對稱差集合運算的性質4）序偶與笛卡爾積序偶三元組n元組笛卡爾積5）關係及其表示期中復習關係前域值域恒等關係全域關係空關係關係矩陣關係圖6）關係的性質自反對稱傳遞反自反反對稱7）複合關係和逆關係複合關係逆關係定理3-7.28）關係的閉包運算閉包定理3-8.1----定理3-8.5期中復習9）集合的劃分和覆蓋劃分覆蓋10）等價關係與等價類等價關係等價類商集定理3-10.1----定理3-10.412）序關係偏序集蓋住關係蓋住集和哈斯圖極大元極小元最大元最小元上界下界最小上界最大下界全序良序擬序期中復習第四章 函數1）函數的概念函數定義域值域函數相等函數集合滿射入射雙射2）逆函數和複合函數逆函數左複合恒等函數常函數函數複合的結合性定理4-2.1----定理4-2.7期中復習第三、四章作業選講§4群與子群《定義》設G,*是一個群，如果G是有限集合，則稱G,*為有限群，並把|G|稱為群的階數，如果G為無限集合，則稱G,*為無限群。

例：I,+為無限群，上例中M,*為有限群，群的階為|M|=6。

至此，可以概括地說：廣群僅僅是具有一個封閉的二元運算的非空集合；半群是一個具有結合運算的廣群；獨異點是具有么元的半群；群是每個元素都有逆元的獨異點。2.群的性質

由群的定義可知:§4群與子群（1）群具有半群和含么半群所具有的所有性質；（2）由於群中存在么元，∴在群的運算表中一定沒有相同的行（和列）（3）在群中，每一個元素均存在逆元，所以群相對半群和含么半群來說有一些特殊的性質。

下麵以定理形式介紹群的性質§4群與子群《定理1》若G,*是一個群，則對任一a,b?G有：

（1）存在唯一的元素x?G，使a*x=b；（2）存在唯一的元素y?G，使y*a=b。

證明：（1）（a）在G中存在x，使a*x=b成立。

∵a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，∴至少有一x=(a-1*b)滿足a*x=b成立。

（b）下麵證明這樣的x是唯一的。若x是G中任一元素，且能使a*x=b成立，則有x=e*x=(a-1*a)*x=a-1*(a*x)=a-1*b，∴x=(a-1*b)是滿足a*x=b的唯一元素，即x是唯一的。

（2）的證明同上。§4群與子群《定理2》若G,*是一個群，則對任一a,b,c?G有：（1）a*b=a*c?b=c（a是左可消去的）；

（2）b*a=c*a?b=c（a是右可消去的）。結論：在代數系統中，二元運算是可結合的，且a是可逆的，則a是可約的。

此定理說明群滿足消去律。§4群與子群《定理3》一個群G,*中一定不存在零元。∵零元不存在逆元。

《定義》：代數系統G,*中，如果存在a?G,有a*a=a，則稱a為等冪元。§4群與子群《定理4》一個群中，除了么元e之外，不存在其他等冪元素。

證明：若任一a?G，有a*a=a的話，則a=e。

∵e=a*a-1=(a*a）*a-1=a*(a*a-1)=a*e=a《定義》：設S是一個非空集合，從集合S到S的一個雙射稱為S的一個置換。§4群與子群《定理5》：群G,*的運算表中的每一行或每一列都是G的元素的一個置換。證明：首先，證明運算表中的任一行或任一列所含G中的一個元素不可能多於一次。（反證法）如果對應於元素a?G的那一行中有兩個元素都是c，即有 a*b1=a*b2=c，且b1?b2由可約性，得：b1＝b2，這與b1?b2矛盾。其次，證明G中的每一個元素都在運算表的每一行和每一列中出現。§4群與子群考察對應於元素a?G的那一行，設b是G中的任一元素由於b=a*(a-1*b)，所以b必定出現在對應於a