苏科版2025年新九数学核心考点精讲精练第11讲图形思想课--图形的相似(原卷版+解析).docxVIP

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第11讲 图形思想课--图形的相似

知识梳理

（一）比例的性质

1.比例中项；2.合分比性质；3.等比性质

（二）平行线分线段成比例定理

1.两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例。

2.如右图所示，所得的对应线段成比例的有：

EQ\F(AB,BC)=eq\f(DE,EF)，EQ\F(AB,AC)=\F(DE,DF)，\F(AB,DE)=\F(AC,DF)，等等。

3.所得的线段必须是对应的，否则不成比例。

4.平行线段分线段成比例定理的常见变形如下图所示：

（三）平行线分线段成比例定理的推论

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

1.一定要注意三边的对应的关系，不要写错

2.平行于三角形的一边的直线可以与三角形的两边相交，也可以与三角形的两边的延长线相交，如下图所示，若DE∥BC，则有EQ\F(ＡＤ,ＡＢ)＝\F(ＡＥ,ＡＣ)，\F(ＡＤ,ＤＢ)＝\F(ＡＥ,ＥＣ)，\F(ＤＢ,ＡＢ)＝\F(ＥＣ,ＡＣ)

（四）相似三角的判定方法

1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

2、如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

3、如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

（五）相似三角形基本类型

1、平行线型：常见的有如下两种，DE∥BC，则△ADE∽△ABC

2、相交线型：常见的有如下四种情形

（1）如图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADE∽△ABC

（2）如下左图，已知∠1=∠B，则由公共角∠A得，△ADC∽△ACB

（3）如下右图，已知∠B=∠D，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE∽△ABC

3、旋转型：已知∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，

下图为常见的基本图形．

4、母子型：已知∠ACB=90°，AB⊥CD，则△CBD∽△ABC∽△ACD．

5、斜交型：

如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）

6、垂直型：有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）

（六）黄金分割

（七）相似三角形的性质

1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.

2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

3、相似三角形周长的比等于相似比.

4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.

（八）利用三角形相似测量高度方法

1、利用阳光下的影子测量物高

根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形.

在同一时刻，EQ\F(被测量物体的实际高度,被测量物体的影长)=\F(某物体的实际高度,某物体的影长)

2、利用标杆测量物高

3、利用镜子原理测量物高

（九）图形的位似

1、位似图形的定义2、图形位似的性质

01.成比例线段与平行线分线段成比例

01.成比例线段与平行线分线段成比例

例题精讲

例题精讲

例1、已知，

（1）求的值；（2）如果，求x的值．

例2、如图，AC∥BD，AD、BC相交于E，EF∥BD，求证：+=．

02.三角形相似的条件

02.三角形相似的条件

例题精讲

例题精讲

例1、如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是CD上一点，且CF=3FD．则图中相似三角形的对数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．

03.利用三角形相似测高距

03.利用三角形相似测高距

例题精讲

例题精讲

例1、如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）

A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m

例2、如图，某水平