独立性检验 课件- 高二下学期数学人教A版（2019））选择性必修第三册.pptx

温故知新：;8.3列联表与独立性检验;前面我们通过2×2列联表整理成对分类变量的样本观测数据，并根据随机事件频率的稳定性推断两个分类变量之间是否有关联.对于随机样本而言，因为频率具有随机性，频率与概率之间存在误差，所以我们的推断可能犯错误，而且在样本容量较小时，犯错误的可能性会较大.因此需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算.

设X和Y为定义在以Ω为样本空间上，且取值于{0，1}的成对分类变量，则判断事件{X=1}和{Y=1}之间是否有关联，主要是看以下假定关系是否成立.;由条件概率的定义可知，零假设H0等价于;由于下列四条性质彼此等价：;思考：如何基于②中的四个等式及下列2×2列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量X和Y是否相互独立作出推断?;一般来说，若频数的期望值较大，则差的绝对值也会较大；而若频数的期望值较小，则相应的差的绝对值也会较小.为了合理地平衡这种影响，我们将四个差的绝对值取平方后分别除以相应的期望值再求和，得到如下的统计量：;随机变量χ2取值的大小可作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立.那么，究竟χ2大到什么程度，可以推断H0不成立呢?或者说，怎样确定判断χ2大小的标准呢?

小概率值α的临界值：

忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得P(χ2≥xα)=α成立.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准，概率值α越小，临界值xα越大.

由P(χ2≥xα)=α可知，只要把概率值α取得充分小，在假设H0成立的情况下，事件{χ2≥xα}是不大可能发生的.根据这个规律，如果该事件发生，我们就可以推断H0不成立.;基于小概率值α的检验规则是:

当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；

当χ2xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，此时H0成立，可认为X和Y独立

这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.

??表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.;解：零假设为H0：分类变量X与Y相互独立，即两校学生的数学成绩优秀率无差异.根据表中的数据，计算得到：;思考：例1和例2都是基于同一组数据的分析，但却得出了不同的结论，你能说明其中的原因吗?;零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异.由已知数据列出列联表.;对犯错误概率的解释：

在零假设H0成立的前提下，随着小概率值α的逐渐减小，χ2统计量对应的临界值xα逐渐增大，则事件{χ2≥xα}越来越不容易发生，零假设越来越不容易被拒绝；随着小概率值α的逐渐增大，χ2统计量对应的临界值xα逐渐减小，则事件{χ2≥xα}越来越容易发生，零假设越来越容易被拒绝.

例如，对于例3中的数据，经计算得χ2≈4.881.

(1)当小概率值α=0.005时，x0.005=7.879，此时χ2≈4.8817.879，则没有充分理由拒绝零假设.因此可以接受H0，即认为两种疗法的效果没有差异.

(2)当小概率值α=0.05时，x0.05=3.841，此时χ2≈4.8813.841，则拒绝零假设，即认为两种疗法的效果有差异，该推断犯错误的概率不超过0.05.

(3)当小概率值α=0.1时，x0.05=2.706，此时χ2≈4.8812.706，则拒绝零假设，即认为两种疗法的效果有差异，该推断犯错误的概率不超过0.1.;观察：在例3的2×2列联表中，若对调两种疗法的位置或对调两种疗效的位置，则卡方计算公式中a，b，c，d的赋值都会相应地改变.这样做会影响χ2取值的计算结果吗?;(1)用样本估计总体思想估计该中学一年级学生的近视率；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？;(2)由卡方计算公式，可得;能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？;零假设为H0：吸烟与患肺癌之间无关联，由表中数据可得;吸烟;应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节：

(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释.

(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较.

(3)根据检验规则得出推断结论.

(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律.

注意，上述几个环节的内容可以根据不同情况进行调整.例如，在有些时候，分类变量的抽样数据列联表是