1.4 空间向量的应用（学生版）.docx

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1.4空间向量的应用

第一章空间向量与立体几何

1.4空间向量的应用

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

例1如图1.4-7在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

图1.4-7

（1）求平面当的法向量；

（2）求平面的法向量．

分析：（1）平面与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．

解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．

（2）因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．因此

，．

设是平面的法向量，则

，．

所以

所以

取，则，．于是是平面的一个法向量．

练习

1．空间中点、直线和平面的向量表示

1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”

（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；()

（2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；()

（3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．()

2．在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线OA的一个方向向量．

3．在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量．

2．空间中直线、平面的平行

例2证明“平面与平面平行的判定定理”：同一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

已知：如图1.4-11，，，，，．

求证：．

分析：设平面的法向量为，直线a，b的方向向量分别为，，则由已知条件可得，由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量．

证明：如图1.4-11，取平面的法向量，直线a，b的方向向量，．

因为，，所以，．

因为，，，

所以对任意点，存在x，，使得．

从而．

所以，向量也是平面的法向量．故．

倒3如图1.4-12，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？

图1.4-12

分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示，如果点P存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果．

解：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以

，．

设是平面的法向量，则，，即

所以

取，则，．所以，是平面的一个法向量．

由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以．

令，得，解得，这样的点P存在．

所以，当，即P为的中点时，平面．

练习

4．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

5．如图，在四面体ABCD中，E是的中点．直线AD上是否存在点F，使得？

6．如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．

3．空间中直线、平面的垂直

例4如图1.4-14，在平行六面体中，，，求证：直线平面．

图1.4-14

分析：根据条件，可以{，，}为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可．

证明：设，，，则{，，}为空间的一个基底，且

，，．

因为，，所以

，．

在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得

．

所以，

．

所以是平面的法向量．

所以平面．

例5证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

图1.4-15

已知：如图1.4-15，，，

求证：．

证明：取直线l的方向向量，平面的法向量．

因为，所以是平面的法向量．

因为，而是平面的法向量，所以．

所以．

练习

7．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量．

（1）若，求a，b的关系式；

（2）若，求a，b的值．

8．已知正方体的棱长为1，以D为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证：．

9．如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

例6如图1.4-18在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．

图1.4-18

（1）求点B到直线的距离；

（2）求直线到平面的距离．

分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．

解：以为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.