2.1 等式性质与不等式性质（解析版）.docx

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2．1等式性质与不等式性质

第二章一元二次函数?方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质

例1比较和的大小.

分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系.

解：因为

.

所以.

例2已知，，求证.

分析：要证明，因为.所以可以先证明.利用已知和性质3，即可证明.

证明：因为.所以，.

于是，

即.

由，得.

练习

1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系:

(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位:m)从地面算起不能超过4m;

(2)a与b的和是非负实数;

(3)如图,在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长L(单位m)大于宽W(单位:m)的4倍.

2．比较和的大小.

3．已知,证明.

练习

4．证明不等式性质1,3,4,6.

5．用不等号“”或“”填空:

(1)如果,,那么______;

(2)如果,,那么____;

(3)如果,那么____;

(4)如果,那么____.

习题2.1

复习巩固

6．举出几个现实生活中与不等式有关的例子

7．某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案：方案A为一次性投资500万元；方案B为第一年投资100万元，以后每年投资10万元，列出不等式表示“经过n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”.

8．比较下列各组中两个代数式的大小：

（1）与；

（2）与；

（3）当时，与；

（4）与.

9．一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.

10．已知，，求的范围.

11．证明：，.

综合运用

12．已知，，，求证：．

13．下列不等式中成立的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

14．证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积，并据此说明，人们通常把自来水管的横截面制成圆形，而不是正方形的原因.

15．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.

拓广探索

16．已知，求证.

17．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？

参考答案：

1．(1);(2);(3)

【解析】由题意转化为不等关系即可

【详解】（1）；

（2）；

（3）由题,则矩形地基的长为,宽为,则

【点睛】本题考查不等关系在实际中的应用,属于基础题

2．.

【分析】将两式作差即可比较大小.

【详解】解：-

=

=-30

所以

【点睛】本题考查了作差法比较大小，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

3．证明见解析

【解析】由,通过分别考查与的差、与的差与0的大小关系,即可证明

【详解】证明:因为,所以,,

所以,

所以,

因为,

所以,

综上,时,.

【点睛】本题考查利用作差法证明不等式,属于基础题

4．证明见解析

【解析】作差后利用差与0的关系及“同号得正，异号得负”即可判断两式大小,进而证明即可

【详解】证明:

①证明不等式性质1:

(1),,,,；

(2),,,,.

②证明不等式性质3:

,,,

③证明不等式性质4:

(1),,,,；

(2),,,,

④证明不等式性质6:

,,,,；

,,,,；

,即

【点睛】本题考查作差法证明不等式性质,考查“同号得正,异号得负”的应用

5．????????????????

【解析】根据不等式的性质依次填写即可

【详解】解析:(1),.,.

(2),.,,.

(3),,,,,

,即.

(4),所以,.于是,即,即.

,.

故答案为:(1)；(2)；(3)；(4)

【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键

6．见解析

【解析】举生活中的儿童乘车票价和桥洞通道限高，答案不唯一.

【详解】解：（1）身高的儿童随同成年人乘坐火车，享受半价优惠，则享受半价优惠儿童的身高的范围.

（2）限高5m的桥洞通道.

【点睛】本题主要考查了生活中的不等关系，属于基础题.

7．

【解析】根据题意得出经过年之后，方案的总投入的表达式，解不等式，即可得出结论.

【详解】方案A：一次性投资500万元；

方案B：第一年投资100万元

两年后总投资为万元

三年后总投资为万元

……

n年后总投资为万元

由于n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入，