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5曲线拟合的最小二乘法1一般的最小二乘逼近(曲线拟合的最小二乘法)的一般提法是:对给定的一组数据,要求在函数类中找一个函数,使误差平方和其中带权的最小二乘法：其中是［a,b］上的权函数。
用最小二乘法求曲线拟合的问题，就是在01中求一函数，使取的最小。它转化为求多元函数02的极小点问题。由求多元函数极值的必要条件，有03
若记则上式可改写为这个方程称为法方程，矩阵形式其中3
由于线性无关，故，方程组存在唯一解(Haar条件)从而得到函数的最小二乘解为可证故是所求最小二乘解。
例:已知一组实验数据,求它的拟合曲线。解：根据所给数据知，可选择线性函数作拟合曲线。令这里故1234544.5688.521311
所求拟合曲线为由方程组
7例：在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关系如下表，求浓度y与时间t的拟合曲线解：将数据标在坐标纸上，可发现数据符合双曲线函数或指数函数。1)双曲线函数拟合双曲线型：即时间t(分)12345678910111213141516浓度×10-34.006.408.008.809.229.509.709.8610.0010.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60
为了确定令由数据表t,y生成数据表于是可用的线性函数拟合数据。方法与上例一样解方程组得从而有其各点误差为
指数函数拟合拟合曲线形如两边取对数为了确定令拟合数据的曲线仍为用上例的方法计算出从而最后求得各点误差为
两个模型的比较本例经计算可得均方误差为由此可知都比较小，所以用作拟合曲线较好。确定拟合曲线的数学模型需要选择比较。321456
用正交函数作最小二乘拟合是关于点集则方程的解为法方程组系数矩阵G是病态的，但如果带权正交的函数族，即且平方误差为123456
根据给定节点及权函数，01造出带权正交的多项式。注01意，用递推公式表示，即其中Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，且01
证明：用归纳法（略）。13
1用正交多项式的线性组合作最小二2乘曲线拟合，只要根据公式逐步求的同时，3相应计算出系数4并逐步把累加到中去，最后就可得5到所求的拟合曲线6这里n可事先给定或在计算过程中根据误差确定。
用这种方法编程序不用解方程组，只用递中循环数增加1，其余不用改变。此为目前用多多元最小二乘拟合推公式；当逼近次数增加一次时，只要把程序项式作曲线拟合最好的方法。已知多元函数的一组测量数据，以及一组权数要求函数
使得最小，这与前面讲的极值问题完全一样，系数同样满足法方程，只是这里求解法方程组就可得到，从而得到，称为函数的最小二乘拟合。
6近似最佳一致逼近多项式17足一定条件下可一致收敛）如果，按展成广义富利用切比雪夫多项式良好的逼近性质求近式（伯恩斯坦多项式）利叶级数，由正交多项式展开公式（在满似最佳一致逼近多项式。截断切比雪夫级数由韦尔斯特拉斯定理知存在最佳一致逼近多项
01可得～02此式称为函数在[-1,1]上的切比雪夫级数。03由04得到05这里
若令，则～就是的富利叶级数，其中根据富利叶级数理论可知，只要在[-1,1]上分段连续，则的切比雪夫级数一致收敛于，从而321456
常接近，而计算较方便。为在[-1,1]上的近似最佳一致逼近
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