课时32095.3.2诱导公式（第二课时）-5.3.2诱导公式（第2课时）.docx

5．3．1诱导公式二、三、四

一、内容和内容解析

1．内容

“诱导公式”包括5组公式，即诱导公式二至六，本单元的知知识结构如下图所示：

本单元分为两课时完成，本节课为第一课时，主要探究诱导公式二、三、四，并围绕圆的对称性提出要研究的相关问题，形成研究的思路．

2．内容解析

我们知道，任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的，之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质，即同角三角函数的基本关系．圆有丰富的性质，对称性是圆的重要性质，如果用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而得到三角函数的诱导公式．

角的基本构成元素就是顶点、始边、终边，在三角函数这一章的研究中，为了方便，使角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，因此变化的只有角的终边．首先从形的角度，研究圆的对称性，假设任意角的终边与单位圆的交点为，点关于圆心或特殊直线的对称点为，根据单位圆上这两个点的对称性，可以写出以为终边的角与角的关系．接下来从数的角度，利用三角函数的定义，建立对称点坐标之间的关系，得到三角函数之间的关系即诱导公式．

可见，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解決问题，发展学生直观想象核心素养的很好的载体．

在数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数值表，并通过公式，将任意角转化为锐角进行计算．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以利用这些公式的“求值”已不是重点，但是研究这些公式时使用的数学思想方法，在解決三角函数的各种问题中却依然有重要作用．在本单元中，利用诱导公式解決问题，重要的是观察计算对象的特征，选择合适的诱导公式，确定恰当的求解路线，并实施计算求解问题．因此本单元是培养学生数学运算核心素养的很好的载体．

因此本单元的教学重点是：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．

此外，为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制．

二、目标和目标解析

1．目标

（1）经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养．

（2）初步应用诱导公式解決问题，积累解题经验，提升数学运算核心素养．

2．目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）在平面直角坐标系中，给出任意角的终边与单位圆的交点，结合单位圆的特殊对称性——关于原点对称和特殊直线对称，学生能分别画出相应的对称点，并利用圆的对称性给出坐标间的关系，利用三角函数的定义，用角表示两个点的坐标，并能求出以为终边的角与角的坐标之间的关系，从而建立三角函数之间的关系，即诱导公式．

（2）学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明．特别是在遇到比较复杂的问题时，能根据运算对象的特点，选择合适的公式，确定恰当的求解方案，并能正确求解．在解题的基础上，能概括出利用诱导公式求解的一般程序．

教学问题诊断分析

本单元就单个知识点而言，比较好理解．但是公式比较多，当学生应用和记忆时会出现困难或者混淆．因此本节课的教学难点之一是：诱导公式的有效识记和应用．

为破解这一难点，本节课的教学过程中要充分发挥单位圆的直观作用，提高学生的直观想象核心素养，理解诱导公式的本质：圆的对称性的代数化，三角函数的性质．学生能主动地依托单位圆，想象着它的对称性，就可以准确的记忆诱导公式．对于公式的应用，要提高学生分析问题的能力，即要形成一定的求解程序，提升学生的数学运算素养．

学生在理解诱导公式时，总是有思维定势，以为是锐角，于是导致解题时，通过角所在象限判断诱导公式的符号出错．所以本单元的第二个难点是：诱导公式中角可以是任意角的理解．

为破解这一难点，在推导诱导公式时要充分地应用变式．比如在推导公式二时，点的位置一般选在第一象限，获得公式后，可以变化点的位置，让学生观察：点的位置变化时，点与点的坐标之间的关系．并抽象概括出这两点的坐标之间的关系与点的位置无关．因此公式中的角可以是任意角．在此基础上，配以具体题目，让学生感受这种概括的正确性．

四、教学支持条件分析

本单位可利用作图软件，画图呈现如上所述的对称性，并动态演示当点的位置变化时对称点的坐标与它的坐标之间的关系不变．

教学过程设计

第一课时

（一）创设情境，引出问题

导入语：前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了公式一，刻画“周而复始”这种変化规律及其几何意义．之后借助于单位圆的几何特征，获得了同一个角的三个三角函数之间的关系．我们知道，对称性是圆的重要性质，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的性质．

问题1：如图5.31，在直角坐标系