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训练31圆锥曲线中的综合问题

分值：65分

一、单项选择题(每小题5分，共20分)

1.(2024·南宁模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p0)的焦点为圆x2＋(y－1)2＝2的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则AB等于()

A.12 B.14 C.16 D.18

2.(2024·无锡模拟)已知F1，F2是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q

A.1 B.2 C.4 D.5

3.已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3，4)，则PM＋PN的最小值是()

A.25－1 B.5－1 C.5＋1 D.25＋1

4.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx(k≠0)与C交于M，N两点，且|F1F2|＝|MN|，四边形MF1NF2的面积为8

A.3 B.5 C.3 D.5

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

5.定义曲线Γ：a2x2＋b2y2＝1为椭圆C：x2a2＋

A.曲线Γ有对称轴

B.曲线Γ没有对称中心

C.曲线Γ有且仅有4条渐近线

D.曲线Γ和椭圆C有公共点

6.(2024·菏泽模拟)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的上、下焦点分别为F1，F2，过点F2且与一条渐近线垂直的直线l与C的上支交于点P，垂足为A，且|PF1|＝3b－

A.双曲线C的渐近线方程为y＝±32

B.双曲线C的离心率为13

C.△AOF1的面积为34a

D.直线l被以F1F2为直径的圆截得的弦长为32

三、填空题(每小题5分，共10分)

7.抛物线x2＝2py(p0)的准线l被圆x2＋y2－6x－1＝0截得的弦长为4，则p＝.?

8.(2024·苏州模拟)设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y22＝1(a0)的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，若△

四、解答题(共23分)

9.(11分)已知直线l：y＝kx＋m与抛物线Γ：y2＝8x交于点A，B.

(1)若直线l的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线l的方程；(4分)

(2)若OA·OB＝0，且km≠0，证明：直线l过定点.(7分)

10.(12分)已知两点F1(－3，0)，F2(3，0)，设圆O：x2＋y2＝4与x轴交于A，B两点，且动点P满足：以线段PF2为直径的圆与圆O内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点F2且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M，N两点.

(1)求轨迹Γ的方程；(4分)

(2)设线段MN的中点为Q，直线OQ与直线x＝433相交于点R，求证：RF2⊥l.

答案精析

1.C2.A3.A

4.B[如图，由对称性知MN与F1F2互相平分，∴四边形MF2NF1为平行四边形，

∵|F1F2|＝|MN|，

∴四边形MF2NF1为矩形，

∴S△NF1F

又S△NF1F2＝b2tanπ4

∴c2－a2＝4a2，

即c2＝5a2，即e＝ca

5.AC[x轴和y轴为伴随曲线的对称轴，故A正确；

坐标原点为伴随曲线的对称中心，故B错误；

x＝±a，y＝±b为伴随曲线的4条渐近线，故C正确；

椭圆的范围：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]，

伴随曲线的范围：|x|a，|y|b，

显然曲线Γ和椭圆C没有公共点，故D错误.]

6.BC[设焦距为2c，由双曲线的对称性，不妨取双曲线C的一条渐近线y＝－abx，则直线l：y＝bax－

垂足为A，

易知|OA|＝a，

|AF2|＝b，

因为|PF1|＝3b－2a，由双曲线的定义可知|PF2|＝3b，

设线段PF2的中点为E，连接OE，

则|F2E|＝12|PF2|＝3

|OE|＝12|PF1|＝3b2

|AE|＝|F2E|－|AF2|＝b2

在Rt△AEO中，

|OE|2＝|OA|2＋|AE|2，

即3b2-a2＝

得ab＝23，故双曲线的渐近线方程为y＝±2

ba

解得e＝132，B

S△AOF1＝S△AO

＝12ab＝34a2，

设直线l被以F1F2为直径的圆截得的弦为MN，则OA⊥MN，

易知点A即为MN的中点，故|MN|＝2|AF2|＝2b＝3a，D错误.]

7.26

8.3

解析F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y22

则a2－c2＝2，①

过F2作x轴的垂线与C交于A，B两点，

因为△ABF1是等边三角形，

所以AF2＝F1F2tan30°＝233

则Ac，

代入椭圆方程可得c2a2＋2

由①②，结合ac0可得a

9.(1)解焦点F(2，0)，斜率k＝1，

故直线l的方程为y＝x－2.

(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

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消去x，整理得ky2－