经济数学微积分 杨慧卿第4版 教案 第3、4章 一元函数积分学、多元函数微积分学.pdfVIP

第3章不定积分、定积分及其应用

本章知识结构导图

一、教学要求

1、理解不定积分的概念及性质.

2、掌握不定积分的基本公式.

3、熟练掌握不定积分的换元枳分法和分部积分法.

4、理解定积分的概念和性质.

5、掌握变限积分的求导公式熟练掌握定积分的NT.公式.

6、熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.

7、了解反常积分和「函数的定义，会计算反常积分.

8、掌握利用元素法解决定积分的几何应用.

9、掌握定积分在经济学中的简单应用.

二、教学重、难点

1、教学重点：不定积分的概念与性质、换元积分法、分部积分法、定积分的概念与性质、换元

积分法、分部积分法、定积分的几何应川、定积分在经济学中的简单应用.

2、教学难点：换元积分法、定积分的概念、反常积分科「函数、定积分的几何应用.

三、教学内容及课划分

3.1不定积分的概念与性质3课时

3.2不定积分的换元积分法4课时

3.3不定积分的分部积分法2课时

3.4定积分的概念和性质3课时

3.5微积分基本定理2课时

3.6定积分的换元积分法与分部积分法2课时

3.7反常积分2课时

3.8定积分的几何应用与经济应用4课时

习题课4课时

计26课时

§3.1不定积分的概念与性质

教学目的：

1、了解原函数与不定积分的概念

2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式.

教学重难点：

1、重点：原函数与不定积分的概念.

2、难点：原函数的求法.

教学课时：3

教学过程：

一、问题的引入

我们有时需要解决与求导数或（微分）相反的问题，即己知函数的导数（或微分），求其函数

本身.

例如，已知曲线），=V+2在x处切线的斜率是函数在咳点的导数值，即％=），=3f.但是

如果已知某曲线在x处的切线斜率为3/，求该曲线的方程，就是一个与求导数相反的问题.

二、原函数与不定积分的概念

【定义1】设函数/X（）定义在区间/上，如果存在一个函数尸幻（，对任意的都有

F\x）=/x（）或dbx（）=/x（）dx

那么称Fx（）为fM在I上的一个原函数.

例如：/（）=21，故d是2x在R上的一个原函数；而s（inx）=cosx故sinx是cosx

2

在A上的一个原函数.然而fx+l/一正等都是2r的原函数，于是，需要考虑以下两个

问题：

1.已知函数/戈（）应具备什么条件才能保证它存在原函数？

2.如果/x（）存在原函数，那么它的原函数有几个？相互之间有什么关系？

【定理1】（原函数存在定理）如果函数/X（）在某区间/上连续，则/x（）在/上一定存在

原函数.

如果函数Fx（）是/X（）的一个原函数，则/外（有无限多个原函数，且尸幻（+C就是/公（

的所有原函数（称为原函数族