《有理数》全章复习与巩固（提高）知识讲解.doc

?有理数?全章复习与稳固〔提高〕

撰稿：孙景艳审稿：赵炜

【学习目标】

1．理解正负数的意义，掌握有理数的概念.

2．理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法那么进行有理数的混合运算.

3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比拟大小等相关知识.

4.理解科学记数法，有效数字及近似数的相关概念并能灵活应用；

5.体会数学知识中表达的一些数学思想.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有理数的相关概念

1.有理数的分类：

〔1〕按定义分类：〔2〕按性质分类：

要点诠释：〔1〕用正数、负数表示相反意义的量；

〔2〕有理数“0”

作用

举例

表示数的性质

0是自然数、是有理数

表示没有

3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示

表示某种状态

表示冰点

表示正数与负数的界点

0非正非负，是一个中性数

2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.

要点诠释：〔1〕一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如.

〔2〕在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.

3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0.

要点诠释：〔1〕一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．〔2〕求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“〞号即可．

〔3〕多重符号的化简：数字前面“〞号的个数假设有偶数个时，化简结果为正，假设有奇数个时，化简结果为负.

4．绝对值：

〔1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

数a的绝对值记作.

〔2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.

要点二、有理数的运算

1．法那么

〔1〕加法法那么：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.

〔2〕减法法那么：减去一个数，等于加这个数的相反数.即a-b=a+(-b)

〔3〕乘法法那么：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同0相乘，都得0.

〔4〕除法法那么：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.即a÷b=a·(b≠0)

〔5〕乘方运算的符号法那么：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0，

(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.

要点诠释：“奇负偶正〞口诀的应用：

〔1〕多重负号的化简，这里奇偶指的是“－〞号的个数，例如：－[－〔－3〕]=－3，

－[+〔－3〕]=3.

〔2〕有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：〔－3〕×〔－2〕×〔－6〕=－36，而〔－3〕×〔－2〕×6=36.

〔3〕有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，那么幂为负；指数为偶数，那么幂为正，例如：，.

2．运算律：

〔1〕交换律:①加法交换律:a+b=b+a;②乘法交换律:ab=ba;

〔2〕结合律:①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c);②乘法结合律：〔ab〕c=a(bc)

(3)分配律：a(b+c)=ab+ac

要点三、有理数的大小比拟

比拟大小常用的方法有：〔1〕数轴比拟法；〔2〕法那么比拟法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)作差比拟法．〔4〕作商比拟法；〔5)倒数比拟法．

要点四、科学记数法

1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式〔其中，是正整数〕，此种记法叫做科学记数法.例如：200000=.

2.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字.如：0.00027有两个有效数字：2，7.

注意：万=，亿=10

【典型例题】

类型一、有理数相关概念

1．x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y|+〔a-1〕2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2021+(-mn)2021的值．

【思路点拨】(1)假设有理数x与y互为相反数，那么x+y＝0，反过来也成立．

(2)假设有理数m与n互为倒数，那么mn＝1，反过来也成立．

【答案与解析】因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，〔a-1〕2≥0，

所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，

所以a2