18　第二章　第9课时　函数的零点与方程的解.docx

第9课时函数的零点与方程的解

[考试要求]1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．

1．函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

(3)函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．

2．二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．

[常用结论]

1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．

2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)0，如图所示，所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． ()

(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0. ()

(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点． ()

(4)只要函数有零点，就可以用二分法求出零点的近似值． ()

[答案](1)×(2)×(3)×(4)×

二、教材经典衍生

1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()

AB

CD

A[根据二分法的概念可知选项A中的函数不能用二分法求零点．]

2．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

f(x)

－4

－2

1

4

2

－1

－3

在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()

A．(1，2) B．(2，3)

C．(5，6) D．(6，7)

BC[由所给的函数值表知，

f(1)f(2)0，f(2)f(3)0，f(5)f(6)0，f(6)f(7)＞0，∴函数f(x)必有零点的区间为(2，3)，(5，6)．故选BC.]

3．(人教A版必修第一册P143例1改编)方程log2x＋x－2＝0的实根个数是()

A．0B．1C．2D．3

B[令f(x)＝log2x＋x－2，易知函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝－1，f(2)＝1，所以f(1)f(2)＜0，

故方程f(x)＝0在(0，＋∞)上只有一个实根．故选B.]

4.(人教A版必修第一册P156习题4.5T13改编)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．

0或－14[当a＝0时，f(x)＝－x

令f(x)＝0得x＝－1，

故f(x)只有一个零点为－1.

当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－14

考点一判定函数零点所在的区间

[典例1](1)(2025·河北邯郸模拟)函数f(x)＝2x＋x3－2的零点所在的区间是()

A．(－2，－1) B．(0，1)

C．(－1，0) D．(1，2)

(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a≠1)．当2a3b4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．

(1)B(2)2[(1)由函数f(x)＝2x＋x3－2可知f(x)在R上单调递增，

因为f(－2)＝14－8－2＝－3940，f(－1)＝12

f(0)＝1＋0－2＝－10，f(1)＝2＋1－2＝10，

根据函数零点存在定理，f(x)的零点所在的区间是(0，1)，且零点是唯一的．故选B.

(2)对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y1，当x＝3时，可得y1，在同一直角坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的