23　第三章　第3课时　导数与函数的极值、最值.docx

第3课时导数与函数的极值、最值

[考试要求]1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会求闭区间上函数的最大值、最小值．

1．函数的极值

(1)函数的极小值：

函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0．则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值：

函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0．则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

提醒：①对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，当x0＝0时，f′(x0)＝0，但x0＝0不是f(x)的极值点；②区分极值与极值点．

2．函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：

①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[常用结论]

1．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．

2．单调函数无极值，区间端点一定不是极值点．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的极大值不一定比极小值大． ()

(2)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点． ()

(3)函数的极大值一定是函数的最大值． ()

(4)函数在某区间上的极大值是唯一的． ()

[答案](1)√(2)×(3)×(4)×

二、教材经典衍生

1．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1改编)函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值点的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

A[由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，函数f(x)在x＝－1处取得极小值．故选A．]

2．(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)已知函数f(x)＝lnxx，则f(

A．－e B．1e

C．1 D．0

B[函数f(x)＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1?lnxx2，令

f′(x)，f(x)在(0，＋∞)上的变化情况列表如下：

x

(0，e)

e

(e，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

f(x)

单调递增

1

单调递减

所以函数f(x)的极大值为f(e)＝1e

3．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为________．

2[函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2．

由题意知，f(x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6．

当c＝6时，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x－2)(x－6)，

易得f(x)在x＝2处有极大值，不符合题意．

当c＝2时，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，

易得f(x)在x＝2处有极小值，符合题意．

故c＝2．]

4．(人教A版选择性必修第二册P98T6改编)已知f(x)＝x3－12x＋1，x∈?13，1，则f

13427－10[f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x

因为x∈?13，1，所以f′

故f(x)在?1

所以f(x)的最大值为f?13＝13427

考点一利用导数研究函数的极值

根据函数的图象判断函数的极值

[典例1](2025·江苏常州模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，定义域为(0，＋∞)，且函数g(x)＝(x－6)3·f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A．f(x)有极小值f(6)，极大值f(1)

B．f(x)仅有极小值f(6)，极大值f(10)

C．f(x)有极小值f(1)和f(6)，极大值f(3)和f(10)

D．f(x)仅有极小值