16　第二章　重点培优课2　指数式、对数式、幂式的大小比较.docx

指数式、对数式、幂式的大小比较

题型一临界值法比较大小

[典例1](1)(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()

A．abc B．bac

C．cab D．bca

(2)已知a＝log52，b＝1log0.10.7，c＝0.70.3，则a，b

A．acb B．abc

C．bca D．cab

(1)B(2)A[(1)因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.300.3，

所以04.2-0.34.204.20.3，

所以04.2-0.314.20.3，即0a1b.

因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且00.21，

所以log4.20.2log4.21＝0，即c0，

所以bac.

故选B.

(2)∵log51log52log55，∴0a12

∵b＝1log0.10.7＝log0.7

∴b1，∵0.710.70.30.70，∴0.7c1，∴acb.故选A.]

临界值法比较大小的关键是寻找合适的中间值，如常考虑a，b，c与特殊数字“0”“1”“12”的大小关系．

[跟进训练]

1．(1)(2025·山西运城模拟)设a＝140.8，b＝log0.30.2，c＝log0.30.4，则a，b，

A．abc B．bac

C．cab D．bca

(2)已知a＝2log32，b＝2log5

A．abc B．bac

C．cba D．cab

(1)D(2)B[(1)a＝121.612，即0a12，b＝log0.30.21，即b1，因为0.420.3，所以log0.30.42log0.30.3＝1，即log0.30.412，且log0.30.4log0.3

所以bca.故选D.

(2)根据换底公式log32＝1log23，log5

因为log25log231，所以0log52log321，

故12log52

又c＝12?1.1＝21.12

所以bac.故选B.]

题型二数形结合法比较大小

[典例2](多选)(2025·重庆巴蜀中学模拟)已知实数a，b，c满足：2a＝13b＝log2

A．bac B．abc

C．acb D．bca

ABC[令2a＝13b＝log2c＝t，在同一直角坐标系中画出y＝2x，y＝13x，y＝log

由图象可知：

当y＝t在①位置时，bac；

当y＝t在②位置时，abc；

当y＝t在③位置时，acb；

bca不可能成立．故选ABC.]

本例属于方程根问题，求解的关键是等价转化为相应函数图象的交点问题，如将问题转化为函数y＝2x,y＝13x，y＝log2x的图象与直线y＝t

[跟进训练]

2．(2025·山西晋中模拟)若ea＝－lna，e－b＝lnb，e－c＝－lnc，则()

A．abc B．acb

C．bca D．bac

B[在同一直角坐标系中画出y＝ex，y＝e－x，y＝lnx，y＝－lnx的图象，

由图象可知acb.故选B.]

题型三利用指数、对数及幂的运算性质比较大小

[典例3](1)设a＝ln22，b＝ln33，c＝ln66，则

A．abc B．bca

C．bac D．cab

(2)已知a＝3log83，b＝－12log1316，c＝log43，则a

A．abc B．cab

C．bca D．bac

(1)C(2)A[(1)由题意得a0，b0，c0，

ab＝3ln22ln3＝ln8ln91，故b＞a；ac＝6ln22ln6

(2)由题意可得a＝3log83＝3×log23log

b＝－12log1316＝－12×

又log23－log34＝lg3lg2

由于lg20，lg40，lg2≠lg4，∴lg2lg4lg2+lg422＝(lg

故log23－log340，∴ab，综合可得abc，故选A.]

作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．

[跟进训练]

3．(1)若a＝log54，b＝log43，c＝34

A．b＞c＞a B．b＞a＞c

C．a＞b＞c D．c＞b＞a

(2)(2024·安徽阜阳一模)设a＝log23，b＝log812，c＝lg15，则a，b，c的大小关系为()

A．abc B．acb

C．bac D．cba

(1)C(2)D[(1)因为8164，所以3464＝434，所以log43log

又lg50，lg30，所以lg5×lg3lg5+lg32

因为lg4lg15，

所以log54log43＝l