高中数学学案2：高中数学人教A版2019必修 第二册 向量的数乘运算.pdfVIP

6.2.3向量的数乘运算

【学习目标】

素养目标学科素养

1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌向量数乘的运算律。(重点)1.数学抽象；

2.掌向量共线定理，会判断或证明两个向量共线。(重点)2.直观想象；

3.逻辑推理。

【自主学习】

一.向量的数乘运算

1.向量的数乘运算的概念

一般地，规定实数人与向量a的积是一个,这种运算叫做向量的数乘，记作—,它

的长度与方向规定如下：

(1)I.

(2)当儿＞0时，八a的方向与a的方向；当1V0时，4a的方向与a的方向；

当4=0时，4a=_.

注意：人是实数，a是向量，它们的积4a仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加

减，如4+a,4一a均没有意义.

2.向量数乘的运算律

设入，〃为实数，那么：

(1)4(ita)=.(2)(4+u)a=.(3)入(a+b)=.

3.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的.对于任意向量a,b,以及任意实数儿，小,

恒有义(4a±〃疝)=.

二.共线向量定理

1.向量a(aWO)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数3使.

注意：(1)定理中，向量a为非零向量

⑵要证明向量a,力共线，只需证明存在实数3使得b=4a即可.

(3)由定理知，若向量萍儿孙则宓，应共线.又窟，弟有公共点/,从而B,。三点共

线，这是证明三点共线的重要方法.

2.三点共线的性质定理

若平面内三点B,C共线，。为不同于4B,C的任意一点，设狂儿洒则存在实

数人，〃使得4+〃=L

【小试牛刀】

1

思维辨析(对的打“v”，错的打“X”)

⑴实数儿与向量a的积还是向量.()

(2)若ma=mb,则a=b.()

(3)(/z?—n)a=ma—na.()

(4)若向量a和，不共线，且儿则必有4=〃=0.()

(5)若向量拔，且哄线，则4B,C,〃四点共线.()

【经典例题】

题型一向量的的线性运算

点拨：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提

取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向

量，实数看作是向量的系数.

例1计算

(1)(—3)X4a；(2)3(a+Z?)—2