2025年中考数学二轮复习专题5 旋转问题.docx

专题5旋转问题

编写说明：将此类难题的核心要点总结，结合例题加深理解，之后练综合题目易有解题思路.

类型

何时用

经典模型图

常用结论

共顶

点旋

转问题

发现从一个顶点散发出的四条线段、两两相等(或对应成比例)、夹角相等

头对头(△ABC与△EDC均为等边三角形)

∠ACE=∠BCD;

△ACE≌△BCD;

AE=BD.

肩碰肩(△ABC与△EDC均为等边三角形)

∠ACE=∠BCD;

△ACE≌△BCD;AE=BD;∠AFB=∠DFE=∠BFC=∠CFE=60°;

FC平分∠BFE;BF=AF+FG;EF=DG+FH;

△CGH是等边三角形.

脚拉脚(△ABC与△EDC均为等腰直角三角形)

∠ACE=∠BCD;

△ACE∽△BCD;

AC

构造

共顶

点旋转

常在等边三角形、等腰直角三角形或正方形中，发现以一腰为边的三角形，通过作辅助线可形成共顶点旋转问题

以点C为顶点作∠ECD=∠ACB,且CD=CE,连接ED,BD,BD,AE相交于点F，连接CF.

∠ACE=∠BCD;

△ACE≌△BCD;AE=BD;

∠AFB=∠DFE=∠BFC=

∠CFE=60°;

FC平分∠BFE.

以点C为顶点作∠ECD=∠ACB,且CD=CE,连接BD.

∠ACE=∠BCD;

△ACE≌△BCD;

AE=BD;

AE⊥BD.

过点C作CF⊥CE,且CF=CE,连接DF.

∠BCE=∠DCF;

△BCE≌△DCF;

BE=DF;

BE⊥DF.

类型

何时用

经典模型图

常用结论

共顶点的半角问题

90°含45°时

条件:正方形ABCD,∠EAF=45°.

辅助线:过点A作AG⊥AF,交CB的延长线于点G，连接EF.

EF=BE+DF;△AGB≌△AFD;△AGE≌△AFE.

条件:等腰Rt△ABD,AB=AD、∠BAD=90°,∠FAE=45°.

辅助线:过点A作AG⊥AF,且AG=AF.连接DG、EG.

EF=BE-DG;△ABF≌△ADG;△AFE≌△AGE;ED2+BF2=FE2.

120°含60°时

条件:等边△ABC、DB=DC、∠BDC=120°,∠EDF=60°、辅助线：以点D为顶点作∠CDG=∠BDE、DG交AC的延长线于点G、

EF=BE+CF;△DBE≌△DCG;△DFE≌△DFG.

条件:等腰△ABC、AB=AC,∠BAC=120°,∠DAE=60°.

辅助线：以点A为顶点作∠CAF=∠BAD,且AF=AD,连接EF,CF.

∠FCE=60°;

△BAD≌△CAF;

△DAE≌△FAE.

对角互补的四边形

四边形中有一组对角互补

找到其中一个角的补角，利用同角的补角相等，得到一组等角，利用旋转思想构造全等(相似)三角形.

条件:∠A+∠BCD=180°,DA=DC.

辅助线：延长BC至点E,使CE=AB,连接DE.

∠A=∠DCE;△DCE≌△DAB.

辅助线：过点D作DE⊥AB,交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F.

∠EAD=∠C;△DAE≌△DCF.

条件:∠A+∠BCD=180°.

辅助线：作∠CDE=∠ADB,DE交BC的延长线于点E.

∠A=∠DCE;△DCE∽△DAB.

辅助线：过点D作DE⊥AB,交BA的延长线于点E,DF⊥BC于点F.

∠EAD=∠C;△DAE∽△DCF.

类型突破

编写说明：每类例题由浅入深设置，包含该类型的经典情况且在不同几何图形背景下，让学生先练透每个类型，抓住核心本质后再综合练习.

类型1·共顶点旋转问题

例1.如图1,在等腰△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC上一点,DE∥BC,把△ADE绕点A逆时针旋转α°(0α180)得到△AFG,连接BF,CG.求证:BF=CG.

【思维引导】

由题意可知，△ABC和△AFG是两个共顶点的等腰三角形，由公共顶点A发出的四条线段AB，AC，AF，AG两两相等，且夹角相等，在此条件下易得一组全等三角形，进而解决问题.

(1)根据【思维引导】或用自己的方法解决上述问题；

小星发现【思维引导】中所形成的全等三角形常常条件不足，此时需要构造条件从而得到全等三角形、

【思维迁移】

如图2，在等边△ABC中，D是AC的延长线上一点，连接BD，作∠BDE=60

例2.如图,在等腰Rt△ABC中,.∠BAC=90°,,D是BC下方一点,连接AD,BD,CD,若.∠BDC=

类型2·共顶点的半角问题

例3.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且.∠EAF=4

(1)DF,EF与BE之间的数量关系为,∠AFD