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电动力学第二章第二章静电场1 静电场的标势及微分方程2唯一性定理3拉普拉斯方程分离变量法4镜像法6电多极矩

在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，求解静电场。本章研究的主要问题：电磁场的基本理论应用到最简单的情况：电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。本章内容：

§1静电场的标势及微分方程无旋有势，定义:或静电场不随时间变化为无旋场1。静电场的标势库仑场电势差积分与路径无关

当电荷分布在有限区域的情况下，取无穷远点为参考点，规定其上电势为0

点电荷静电场标势叠加原理连续分布已知电荷分布求电势全空间电荷为0，库仑场的标势为0

解：例1求均匀电场的电势。均匀电场每一点强度相同，其电场线为平行直线。选空间任一点为原点，并设该点上的电势为，那么任一点P处的电势为若选?0=0，则有

例2：真空中均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求电势。由查表得p点的电势为设场点p到导线的距离为R，电荷元到p点的距离为，电势由公式求得

p点和p0的电势差

2。静电势的微分方程静电场标势泊松方程

3。静电场能将换成的公式其中 不代表能量密度

电荷在外场中的电势能、静电场能当带电体为一点电荷电荷在外场中，电荷的场和外场的叠加外场场能点电荷场能两场能交叉项电荷在外场中的势能

静电场标势由边界条件a.边界条件静电势的微分方程

导体的静电条件归结为：导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上。导体内部电场为零。导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体的电势相等。

§1静电场的标势及其微分方程1。静电场标势2。静电势的微分方程a.一般介质的边界条件b.导体的静电条件静电场的基本问题是求出在所有边界上满足边值关系的泊松方程的解

§2唯一性定理1。静电问题的唯一性定理若在有限的边界区域V内有几种均匀绝缘介质，V内的自由电荷分布为已知，那么当V的边界面S上满足一定边界条件时,静电场方程有唯一确定的解。

证明：设有两组不同的解和满足唯一性定理的条件，令在每个均匀区域内，有：在任意两均匀区域的界面上，有：在整个区域的边界上，有：或

考虑第i个均匀区域V的界面S上的积分对所有分区求和，得

2。有导体时的唯一性定理只需给出①每个导体的值或②每个导体上的电量证明：考虑去掉导体后的绝缘介质区域第一种情况：给出了第一类边界条件第二种情况：对导体表面有

2唯一性定理#2022

例题（注：用唯一性定理解题）如图，两同心导体球壳之间充满两种介质。左半边电容率为，右半边电容率为，设内球带电量Q，外球壳接地。求空间的电场和球壳上的电荷分布。分析两介质面在球的方向。且这样可取假设E球对称设：这样可满足E在切向连续

电荷分布满足了，总边界条件满足了，内部边界满足了，由解的唯一性定理保证，上面得到的结果就是问题的解。

静电场的方程及边界条件静电势方程边界条件导体的静电条件①②③静电问题的唯一性定理

则V内的电场唯一地确定。（ii）电势的法向导数求解区域V内给定自由电荷分布ρ(x)，在V的边界S上给定若求解区域内有导体存在，还要给定各导体上的电势或导体上的电荷。或静电问题有解的条件：电势

拉普拉斯方程电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的。电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的。在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．例如：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布。这些问题的特点是：

这就是拉普拉斯方程。注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布于V的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界条件的解。如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则V内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化为比较简单的情形：

二、分离变量法分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实际问题的的解。不同坐标系中拉氏方程的通解不同。

1.球坐标：

若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为若问题具有球对称性其中

2.柱坐标：若u与z