天津市南开中学2024-2025学年高三下学期第五次月考数学试卷.docxVIP

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天津市南开中学2024-2025学年高三下学期第五次月考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则（????）

A． B． C． D．

2．设，“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数为，经验回归方程为，则下列说法错误的是（????）

A．当越大时，成对样本数据的线性相关程度越强

B．当时，

C．，时，成对样本数据的相关系数满足

D．必定满足经验回归方程

4．设，则的大小关系为（????）

A． B． C． D．

5．关于函数，下列说法正确的是（????）

A．在上单调递增，且曲线存在对称轴

B．在上单调递增，且曲线存在对称中心

C．在上单调递减，且曲线存在对称轴

D．在上单调递减，且曲线存在对称中心

二、多选题

6．已知函数的最小正周期为，则下列结论错误的是（????）

A．

B．函数的最大值为

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在上单调递增

三、单选题

7．设为双曲线的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为（????）

A． B．2 C． D．4

8．瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案如下图，分别记为曲线，，，，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边．记为曲线所围成图形的面积，则（????）

A． B． C． D．

9．欧阳南德与上官琐艾即将毕业，为了纪念美好的高中时代，二人来到南开工坊共同制作了属于他们的艺术品：该艺术品包括内外两部分，外部为一个正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“欧”、“阳”、“上”、“官”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“南”、“德”、“琐”、“艾”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒．已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为，为使内部正四面体在外部正四棱锥内（不考虑四棱锥表面厚度）可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（????）

A． B． C． D．

四、填空题

10．是虚数单位，复数，则．

11．在的展开式中，所有项系数的和为64，其展开式中项的系数是．（用数字填写答案）

12．已知抛物线，圆，过轴上一点作直线分别与和相切于，两点，其中点坐标为，则．

13．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球是一黑一红”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则；．

14．在平面凸四边形中，，分别为边，上的动点，已知，，．

（1）当，分别为边，的中点时，线段的长为；

（2）当时，线段长的最小值为．

15．已知方程恰有4个不同的实数解，则正实数的取值范围是．

五、解答题

16．在中，角，，所对的边分别为，，．已知．

(1)求；

(2)若，，求边上的高；

(3)若，求的值．

17．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是的中点，是与的交点．

??

(1)证明：∥平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求三棱锥的体积．

18．设椭圆的下顶点为，右焦点为，离心率为．已知点是椭圆上一点，当直线经过点时，原点到直线的距离为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值．

19．已知是首项为1的等差数列，是其前项和，是等比数列，且，，

(1)求与的通项公式；

(2)设是由数列及的公共项按照从小到大的顺序排列而成的数列，求；

(3)设数列满足，，是数列的前项和，若对于任意的正整数，恒成立，求的最大值．

20．已知函数，.设为的导函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：有且仅有一个极值点；

(3)判断的所有零点之和与的大小关系，并说明理由.

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《天津市南开中学2024-2025学年高三下学期第五次月考数学试卷》参考答案

题号

1

2

3

4

5