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常数项级数函数项级数一般项级数正项级数幂级数三角级数收敛半径R泰勒展开式数或函数函数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数满足狄氏条件在收敛级数与数条件下相互转化一、主要内容
级数的部分和定义常数项级数级数的收敛与发散
性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质性质1:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.020103050604
常数项级数审敛法正项级数任意项级数1.2.4.充要条件5.比较法6.比值法7.根值法4.绝对收敛5.交错级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;一般项级数4.绝对收敛
01定义03审敛法02正项级数及其审敛法04比较审敛法
(2)比较审敛法的极限形式
定义正、负项相间的级数称为交错级数.交错级数及其审敛法
定义正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.任意项级数及其审敛法
定义01收敛点与收敛域025、函数项级数
和函数
01定义02幂级数
(2)收敛性
推论
01定义:正数R称为幂级数的收敛半径.02幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
加减法01(其中02幂级数的运算03a.代数运算性质:
乘法(其中除法
b.和函数的分析运算性质:
7、幂级数展开式定义
(3)唯一性充要条件
步骤:a.直接法(泰勒级数法)展开方法b.间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.
常见函数展开式
b.欧拉公式(5)应用a.近似计算
三角函数系傅里叶级数(1)三角函数系
傅里叶级数定义三角级数
其中01称为傅里叶级数.02
狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
正弦级数与余弦级数
奇延拓:01周期的延拓02
偶延拓:
01例102解二、典型例题
根据级数收敛的必要条件，原级数收敛．
解01根据比较判别法，02原级数收敛．03
解从而有
原级数发散；02原级数收敛；01原级数也发散．03
例２解即原级数非绝对收敛．
由莱布尼茨定理：
所以此交错级数收敛，01故原级数是条件收敛．02
例３解两边逐项积分
例4解
例5解
01例602解
和函数的图形为
例7解
由上式得
P1例8P2解
测验题
测验题答案
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