山西省阳泉市第一中学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题（解析版）.docx

阳泉一中2024-2025学年第二学期高一年级期中考试试题

数学学科

考试时长：120分钟总分：150分

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列叙述中正确的是（????）

A.已知向量，，且，则与的方向相同或相反

B.若，则

C.若，，则

D.对任一非零向量，是一个单位向量

【答案】D

【解析】

【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断.

【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误；

对B，，且，方向相同才可判断，故B错误；

对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误；

对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确.

故选：D

2.已知复数的实部与虚部相等，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果.

【详解】易知的实部为，虚部为，

由题意可知，

则.

故选：B

3.若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，结合三角形面积公式即可求解.

【详解】正三棱锥的所有棱长均为，

则正三棱锥的各个面都是边长为的等边三角形，

等边三角形的高为，

则该三棱锥的表面积为.

故选：.

4.若，，且，则x的值为（）

A.1 B. C.或0 D.或1

【答案】C

【解析】

【分析】由向量垂直可以得到数量积为0，进而列出方程求解.

【详解】由题设，

由题，得，解得或.

故选：C.

5.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（）.

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案.

【详解】由正弦定理得，

其中，

所以，

因为，所以，

故，

因为，所以，

故为直角三角形.

故选：C

6.若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量相等即可求解.

【详解】

令顶点的坐标为，又

所以，

如图易知，在平行四边形中，

所以，解得，所以顶点的坐标为，

故选：A.

7.记中的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由面积公式及余弦定理计算可得.

【详解】因为，

又由余弦定理，

所以，

所以，则.

故选：A

8.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积．

【详解】如图正八面体，连接和交于点，

因为，，

所以，，又和平面内相交直线，

所以平面，所以为正八面体的中心，

设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为，所以正八面体的棱长为，

所以，

则．

故选：B．

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）

A. B.的周长为

C. D.外接圆的面积为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正弦定理、余弦定理解三角形即可得到有关结论.

【详解】由，得，解得或（舍去），

所以的周长为，A正确，B正确.

因为，所以，解得，C错误.

设外接圆的半径为R，因为，所以，外接圆的面积为，D正确.

故选：ABD.

10.已知向量，，是与同向的单位向量，则（）

A. B.与可以作为一组基底

C. D.向量在向量上的投影向量为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定条件，结合向量运算的坐标表示及投影向量的意义，逐项计算判断.

【详解】对于A，，，A错误；

对于B，，不共线，可以作为一组基底，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，向量在向量上的投影向量，D正确.

故选：BCD

11.已知点M是边长为2的正方形ABCD内部一点（含边界），，其中，则下列选项中正确的是（）．

A.时，则的最小值为

B.时，则的最大值为4

C.时，则

D.