2025年中考数学几何模型归纳训练专题31 最值模型之将军饮马模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）.docxVIP

专题31最值模型之将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

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模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 6

模型3.将军饮马模型（多线段和的最值） 9

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模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）

条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。

模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：

模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：

图（1）图（2）

模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。

例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，，，，，E是边上的一动点，F为的中点，则的最小值为．

例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为．

例3．（2024·广东·二模）如图，菱形的一条对角线，，P是对角线上的一个动点，E，F分别为边，的中点，则的最小值是（????）

A．2 B． C．4 D．

例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为．

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模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）

条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。

模型（1）：点A、B在直线m同侧：模型（2）：点A、B在直线m异侧：

图（1）图（2）

模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。

当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，

当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。

例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为____．

例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为．

例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为．

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模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）

模型（1）：两定点+两动点

条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

图1-1图1-1图1-1图2

模型（2）：一定点+两动点

条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。