2025年中考数学几何模型归纳训练专题27 相似模型之托勒密定理与不等式模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）.pdfVIP

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专题相似模型之托勒密定理与不等式模型

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计

算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基

本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合

题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的托勒密定理与托勒密不等

式模型。

托勒密（Ptolemy）定理的历史，可追溯到公元2世纪，古希腊数学家和天文学家Ptolemy，他对三角

学有很多贡献。该定理无论从内涵还是应用都极具魅力。从表面上看Ptolemy定理是关于边的等式，但由

于四边形外接圆的存在，Ptolemy定理从一个侧面反映了角的关系。也许正因为如此，Ptolemy定理有了较

好的应用背景。Ptolemy定理不但有着丰富的内涵，而且具备广泛的外延，而Ptolemy不等式就是其重要的

拓展。

2

1.2

模型托勒密（定理）模型

模型2.托勒密不等式模型14

19

模型1.托勒密（定理）模型

托勒密定理：四边形ABCD内接于圆，求证：ACBDADBCABCD．

证明：如图，在BD上取一点P，使其满足12．

ACAD

∵34，∴△ACD∽△BCP，，即ACBPADBC①

BCBP

ABAC

ACBDCP56△ACB∽△DCPACDPABCD

又，，∴，，．②

DPCD

①+②，有ACBPACPDADBCABCD．

即AC(BPPD)ADBCABCD，故ACBDADBCABCD．

特例：（1）当△ABC是等边三角形时，如图1，根据托勒密定理有：DBACADBCABCD，

又等边△ABC有ABACBC，故：DBDADC．

特例：（2）当△ABC是等腰直角三角形，如图2，根据托勒密定理：ADBCABCDACBD，

又AB:AC:BC1:1:2，代入可得结论：2ADBDCD．

特例：（3）当△ABC是一般三角形时，如图2，根据托勒密定理可得：ADBCABCDACBD

又BC：AC：ABa：b：c，代入可得结论：aADbBDcCD．

例．（湖北武汉模拟预测）托勒密定理由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘

12024··“”

OABCDBD8CD5AB6BDC60

积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，

则AD（）

822822682278228

A．5B．C．D．

7777

【答案】B

BBECDBBGACG

【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据同弧所对的圆周角相等可得