2024-2025学年广东省广州市天河中学高一下学期基础考试数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年广东省广州市天河中学高一下学期基础考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z满足z?1?i=2i，则复数z对应的点位于(????)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)．∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC，则这块菜地的面积为(????)．

A.2+2 B.23 C.

3.对于非零向量a,b，下列命题中正确的是(????)．

A.a?b=0?a//b

B.a//b?a在b上的投影向量为?

4.在?ABC中，a,b,c是角A,B,C分别所对的边，∠B=60°,b2=ac

A.底边和腰不相等的等腰三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形 D.等边三角形

5.已知向量a，b不共线，且向量c=a+λb，d=2λ?1a+b，若

A.?1 B.?12 C.1或?12

6.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1,若点E为边CD上的动点，则

A.2116 B.32 C.2516

7.设锐角?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A=π3,a=3，则

A.(1,9] B.(3,9] C.(5,9] D.(7,9]

8.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=b,

A.1225a?1625b B.16

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知复数z满足|z|=2，则(????)

A.z可以是?1+3i B.若z为纯虚数，则z的虚部是2

C.z

10.(多选)?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是(????)

A.若AB，则sinAsinB

B.若sin2A+sin2Bsin2C，则?ABC是锐角三角形

C.

11.在?ABC中，C=45°，AB+3AC

A.sinB=1010 B.tanA=?2

C.BA在BC方向上的投影向量为34

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知i是虚数单位，复数z=2?i3+2i，则z=

13.在?ABC中，a=2，b=3，若该三角形为钝角三角形，且b为最大边，则边c的取值范围是??????????．

14.若?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，tanB=cosC?sinCcosC+sinC，a=2c，点D在边BC上，

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分

已知向量a=e1?e2，

(1)a?b

(2)a与b的夹角θ的余弦值．

16.(本小题15分

?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos

(1)求A；

(2)若a=2，?ABC的面积为3，求b，c的值．

17.(本小题12分)

已知甲船正在大海上航行，当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(

(1)试问乙船航行速度的大小；

(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，如北偏东…度)．

18.(本小题17分)

记?ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=

(1)求B；

(2)若B的角平分线交AC于点D，且BD=1，求△ABC的面积．

(3)若?ABC的面积为3+3，求c

19.(本小题17分

如图，在四边形ABCD中，已知?ABC的面积为S1=34

??

(1)求∠ABC的大小；

(2)若?ABC外接圆半径为1，求?ABC的周长最大值．

(3)若CD=3BC，设∠CAD=30°，∠BCD=120°，问是否存在常数λ

参考答案

1.B?

2.C?

3.C?

4.D?

5.B?

6.A?

7.D?

8.A?

9.ACD?

10.AD?

11.ABC?

12.8?i?

13.1,

14.3

15.【详解】(1)因为a=e1

所以a?

所以a+

所以a+

(2)cos

?

16.【详解】(1)由正弦定理及2cos

得2cos

即2cos

即2cos

因为0Aπ，