多维随机变量及其分布课件.ppt

*多維隨機變數及其分佈二維隨機變數

*在實際問題中,對於某些隨機試驗的結果需要同時用兩個或兩個以上的隨機變數來描.例如,為了研究某一地區學齡前兒童的發育情況,對這一地區的兒童進行抽查,對於每個兒童都能觀察到他的身高H和體重W.在這裏,樣本空間S={e}={某地區的全部學齡前兒童,而H(e),和W(e)是定義在S上的兩個隨機變數.又如炮彈彈著點的位置需要由它的橫坐標和縱坐標來確定,而橫坐標和縱坐標是定義在同一個樣本空間的兩個隨機變數.

*一般,設E是一個隨機試驗,它的樣本空間是S={e},設X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機變數,由它們構成的一個向量(X,Y),叫做二維隨機向量或二維隨機變數.SeX(e)Y(e)

*定義設(X,Y)是二維隨機變數,對於任意實數x,y,二元函數:稱為二維隨機變數(X,Y)的分佈函數,或稱為隨機變數X和Y的聯合分佈函數.(x,y)xyO

*易知,隨機點(X,Y)落在矩形域

[x1X?x2,y1Y?y2]的概率為

P{x1X?x2,y1Y?y2}

=F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2).(1.1)xyy1y2x1x2

*分佈函數F(x,y)具有的基本性質:

1,F(x,y)是變數x和y的不減函數,即對於任意固定的y,當x2x1時F(x2,y)?F(x1,y);對於任意固定的x,當y2y1時F(x,y2)?F(x,y1).

2,0?F(x,y)?1,且

對於任意固定的y,F(-?,y)=0,

對於任意固定的x,F(x,-?)=0,

F(-?,-?)=0,F(+?,+?)=1.

3,F(x,y)關於x和關於y都右連續.

4,任給(x1,y1),(x2,y2),x1x2,y1y2,

F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2)?0

*如果二維隨機變數(X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限對或可列無限多對,則稱(X,Y)是離散型的隨機變數.

設二維離散型隨機變數(X,Y)所有可能取的值為(xi,yj),i,j=1,2,...,記P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,則由概率的定義有

*稱P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,...,為二維離散型隨機變數X和Y的分佈律,或隨機變數X和Y的聯合分佈律.

也可用表格表示X和Y的聯合分佈律:YXx1x2...xi...y1p11p21...pi1...y2p12p22...pi2...?...............yjp1jp2j...pij.....................

*例1設隨機變數X在1,2,3,4四個整數中等可能地取一個值,另一個隨機變數Y在1~X中等可能地取一整數值.試求(X,Y)的分佈律.

解由乘法公式容易求得(X,Y)的分佈律,易知{X=i,Y=j}的取值情況是:i=1,2,3,4,j取不大於i的正整數,且

*於是(X,Y)的分佈律為YX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16

*將(X,Y)看成一個隨機點的座標,則離散型隨機變數X和Y的聯合分佈函數為其中和式是對一切滿足xi?x,yj?y的i,j來求和的.

*與一維隨機變數相似,對於二維隨機變數(X,Y)的分佈函數F(x,y),如果存在非負的函數f(x,y)使對於任意x,y有則稱(X,Y)是連續型的二維隨機變數,函數f(x,y)稱為二維隨機變數(X,Y)的概率密度,或稱為隨機變數X和Y的聯合概率密度.

*按定義,概率密度f(x,y)具有以下性質:

1,f(x,y)?0.3,設G是xOy平面上的區域,點(X,Y)落在G內的概率為4.若f(x,y)在點(x,y)連續,則有

*由性質4,在f(x,y)的連續點處有

*這表示若f(x,y)在點(x,y)處連續,則當Dx,Dy很小時

P{xX?x+Dx,yY?y+Dy}?f(x,y)DxDy,

即(X,Y)落在小長方形(x,x+Dx]?(y,y+Dy]內的概率近似等於f(x,y)DxDy.

在幾何上x=f(x,y)表示空間的一個曲面,由性質2知,介於它和xOy平面的空間區域的體積為1,由性質3,P{(X,Y)?G}的值等於以G為底,以曲面z=f(x,y)為頂面的柱體體積.

*例2設二維隨機變數(X,Y)具有概率密度(1)求分佈函數F(x,y);(2)求概率P{Y?X}.解(1)

*(2)將(X,Y)看作是平面上隨機點的座標,即有

{Y?X}={(X,Y)?G},

其中G