高中数学试题： 截口曲线问题.pdfVIP

3.2截口曲线问题

一、飞机舷窗为什么是椭圆形？

1954年，英国海外航空公司的客机飞行途中，接连发生突然爆炸、解体的情况。最

后发现，导致这一场场灾难的罪魁祸首竟然是机舱上

的矩形窗户。原来，飞机飞行过程中，机舱内需要

加压，随着飞行高度的增加，机舱内外的压力差也会

越来越大。机舱内的压力会积压矩形窗户四个锋利

尖锐的角上，而窗户经受不住压力的反复冲撞，时间

久了，便会破碎，进而引起飞机爆炸。为了解决这一

问题，飞机设计者把飞机上的窗户设计成椭圆形。因为椭圆形的舷窗能使压力均匀分布圆

弧的每个点上，然后压力会顺利地穿过材料•，保证飞机的飞行安全。

二、椭圆为什么是圆锥曲线之一？

1.生活中的椭圆模型

生活中，阳光照射球体形成的影子、倾斜水杯的水截面边缘等都给我们以“椭圆”的

印象，那么我们数学中的“椭圆”到底是什么样子呢？或者说能不能从实物中抽象出数

学模型呢？

(1)阳光照射球体形成影子一一单球模型

(2)倾斜水杯的水截面边缘一一圆柱模型

两者都有椭圆，其实单球模型进行下列变换就能得到圆柱模型。

圆柱的Dandelin圆柱的Dandelin

单球模型双球模型

通过圆柱的Dandelin双球模型，我们就能得出椭圆上的点到两个定点的距

平面内到两个定点耳、尸2的距离之和等于常数2a（忻图＜2a）的点的轨迹

叫做椭圆。这两个定点不与叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离恒图叫做焦距。

2.圆锥的截线

从圆柱上可以截得椭圆，那为什么我们称椭圆为圆锥曲线，而不是圆柱曲线

呢？我们知道用一个平面去截圆锥，当平面垂直于圆锥面的轴时，截线是一个圆。

若将平面逐渐倾斜的过程中：

1.当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

2.当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

3.当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为

此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

我们把这三种曲线统称为圆锥曲线。从圆锥入手，可以发现更一般的规律,

圆柱的Dandelin双球只是一种特殊情况。圆锥曲线的研究最早出现古希腊时

期，求解希腊三大著名几何问题之一倍立方体问题过程中用到了圆锥曲线。阿

波罗尼奥斯第一个用平面截一个对顶的圆锥得到了所有的圆锥曲线，前人成果

的基础上又增加了自己的创新见解，运用纯几何方法，证明了近500个命题，

这当时堪称奇迹，即便是之后的近2000年内也无人能超越。然而，数学家

们探索的步伐并不会停止……

3.圆锥的Dandelin双球模型

为什么用平面截圆锥能截出椭圆呢？历史上，许多人从纯几何角度出发对这

个问题进行过研究，类比圆柱的Dandelin双球

模型，你能利用椭圆的定义证明点A的轨迹是

椭圆吗？

证明：因为过球外一点所作球的切线的长

相等，所以AE=AC,AF=AB,于是AE+AF=AB+AC=BC=

常数。这样，截口曲线上任意一点A到两个定

点E,F的距离之和为常数，即截口曲线是椭圆。

19世纪，法国数学家Dandelin就用这种方

法证明了截口曲线是椭圆，这就是著名的Dandelin双球证法。事实上，Dandelin

还利用双球证明了截口曲线是双曲线的情形，利用单球证明了截口曲线是抛物线

的情形。有兴趣的同学不妨试着利用双球模型探究抛物线和双曲线的截线定义。

三、坐标系下的椭圆

古希腊对圆锥曲线的几何性质己经有较深刻的研究，但当时的几何学都是

静态的几