2025年中考数学二轮复习专题：圆与相似三角形及三角函数综合训练（含解析）.docxVIP

2025年中考数学二轮复习专题：圆与相似三角形及三角函数综合训练

1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）求证：E为△PAB的内心；

（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC和BF的长．

3．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在射线l上取点F，使FC＝FD．

（1）求证：FC是⊙O的切线；

（2）当点E是的中点时，

①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连接PA，且∠PAB＝∠ADB．

（1）求证：PA为⊙O的切线；

（2）若AB＝6，tan∠ADB＝，求PB长；

（3）在（2）的条件下，若AD＝CD，求△CDE的面积．

5．如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．

（1）求证：DE为⊙O切线；

（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP＝，求AD；

（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．

6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于F，FM⊥AB于H，分别交⊙O、AC于M、N，连接MB，BC．

（1）求证：AC平分∠DAE；

（2）若cosM＝，BE＝1，

①求⊙O的半径；

②求FN的长．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若AE＝4，cosA＝，求DF的长．

8．如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B、F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M；P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA＝PD，AD的延长线交⊙O于点E．

（1）求证：＝；

（2）若ED、EA的长是一元二次方程x2﹣5x+5＝0的两根，求BE的长；

（3）若MA＝6，sin∠AMF＝，求AB的长．

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．

（1）求证：AB是⊙O的切线．

（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值．

（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

10．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．

（1）求证：∠ACD＝∠B；

（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；

①求tan∠CFE的值；

②若AC＝3，BC＝4，求CE的长．

11．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE2＝EH?EA；

（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．

12．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）求证：△PCF是等腰三角形；

（3）若tan∠ABC＝，BE＝7，求线段PC的长．

13．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若AB＝4，B为OE的中点，CF⊥AB，垂足为点F，求CF的长；

（3）如图2，连接OD交AC于点G，若＝，求sin∠E的值．

14．【问题背景】

已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角．

【初步感知】

（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝°；

【问题探究】

（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使