2025高考数学专项讲义第02讲球体的外接与内切问题(学生版+解析).docxVIP

第02讲球体的外接与内切问题

（11类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例

考点分析

关联考点

2023年新I卷，第12题,5分

球体相关计算

正棱锥及圆柱体的相关计算

2022年新I卷，第8题,5分

球的体积的有关计算

多面体与球体内切外接问题

锥体体积的有关计算

由导数求函数的最值(不含参)

2022年新Ⅱ卷，第7题,5分

球的表面积的有关计算

多面体与球体内切外接问题

无

2021年新Ⅱ卷，第4题,5分

球的表面积的有关计算

无

2020年新I卷，第4题,5分

球的截面的性质及计算

无

2020年新I卷，第16题,5分

球的截面的性质及计算

无

2020年新Ⅱ卷，第4题,5分

球的截面的性质及计算

无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等或偏上，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握球体的表面积公式和体积公式

2.熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算

3.会利用（二级）结论快速解题

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.

知识讲解

球的表面积和体积公式

球的表面积：S＝4πR2球的体积：V＝eq\f(4,3)πR3

球的切接概念

空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球

空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

墙角模型（三条直线两两垂直）

补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

直棱柱外接球之汉堡模型

（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同

（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理

直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）R

底面外接圆的半径r的求法

（1）正弦定理

（2）直角三角形：半径等于斜边的一半

（3）等边三角形：半径等于三分之二高

（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半

正棱锥类型

h?R2+

侧棱垂直与底面-垂面型

R

侧面垂直与底面-切瓜模型

如图：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC为小圆直径)

（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直径AC的长;

（2

如图：:平面PAC⊥平面BAC

（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;

（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=?

（

内切球

如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)

（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;

（2）设内切球半径为r,建立等式:VP

?

（3）解出r

结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为.

考点一、特殊几何体外接球

1．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．

2．（天津·高考真题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．

3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

4．（2024高三·全国·专题练习）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个小球的表面积之和最大为（????）

A． B． C． D．

5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知一圆台内切球与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为，若r1r2=1

A． B． C．2 D．

6．（2024·浙江·模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为（????）

A．96π B． C． D．

1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（????）

A． B．