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2025届福建省泉州市高中毕业班模拟检测数学试题（一模）

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则（）

A. B.

C. D.

2.若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.等差数列的首项为2，公差不为0．若成等比数列，则公差为（）

A. B. C.1 D.

4.若则（）

A B. C. D.

5.已知圆柱的底面直径为2，它的两个底面的圆周都在同一个体积为的球面上，该圆柱的侧面积为（）

A. B. C. D.

6.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

7.已知函数定义域为，且，记，则（）

A B.

C. D.

8.已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于80,90内的学生成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10．则（）

A.

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为32

10.已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（）

A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为

C.系数最大项第2项 D.有理项共有4项

11.设函数，则（）

A.当时，有三个零点

B.当时，是的极大值点

C.存在a，b，使得为曲线的对称轴

D.存在a，使得点为曲线的对称中心

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知随机变量，若，则实数a的值为________．

13.圆的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，则原点到直线的距离为______．

14.数列满足，且，则数列的前2024项和为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.记内角、、的对边分别为、、已知.

（1）证明：；

（2）若，，求的面积.

16.如图，在四棱锥中，，，平面平面为中点．

（1）求证：平面；

（2）点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．

17.已知点P为圆上任意一点，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H.

（1）求曲线H的方程;

（2）若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点.

(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；

(ii)求的取值范围.

18.已知函数，.

（1）当时，恒成立，求实数a的取值范围；

（2）证明：当，时，曲线与曲线总存在两条公切线；

（3）若直线，是曲线与的两条公切线，且，的斜率之积为1，求a，b的关系式.

19.已知无穷数列an，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列an为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列an为“严格数列”.

（1）已知数列an，bn的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由；

（2）证明：数列an为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”；

（3）已知数列bn为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列bn的最小项的最大值.