1.3 空间向量及其运算的坐标表示-【高分突破系列】2022-2023学年高二数学上学期同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第一册) (解析版).docxVIP

空间向量及其运算的坐标表示

1空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

(2)空间直角坐标系中的坐标

在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使

2空间向量的直角坐标运算律

①若a=(

则a

λ

a

a||b?

a⊥

②若Ax1,y

③模长公式

若a=(a1

④夹角公式

cos

?ABC中，AB

⑤两点间的距离公式:若A

则|

或d

【题型一】空间向量坐标运算

【典题1】已知：a=(x,4,1)，b=(-2,y,-1)，

(1)a,b,c；(2)

【解析】(1)∵a//b，∴

故a=(2,4,1),

又因为b⊥c，所以b?c=0

故c=

(2)由(1)可得a+

设向量a+c与b+

则cos?

【典题2】已知空间四点A(2,－1,1)、B(1,2,3)、

【解析】∵空间四点A

∴AD

即(－

∴-m-2n=-

巩固练习

1(★)空间点A(x，y，z)，O(0，0，

【答案】2

【解析】∵空间点A(x，y，z)

∴A是以O为球心，1

∵B(2

∴|AB|

2(★)已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,t)

【答案】(-

【解析】∵向量a=(2,-1,3),

∴a?b=-8-2+3

∴实数t的取值范围为(-∞

3(★)若向量a=(7,λ,8),b=(1,-1,2),c=(2,3,1)，且

【答案】3

【解析】向量a=(7,λ,8),

所以存在两个实数x、y使得

即7=x+2yλ=-

4(★★)已知AB=(2,-1,3),AC=(-1,4,-2),AD=(5,-6,λ)

【答案】8

【解析】∵A,B,C,D

∴2m-

【题型二】建立空间坐标系处理几何问题

【典题1】△ABC的三个顶点分别是A(1,-1,2)，B(5,-6,2)，C(1,3,-1)

【解析】

方法一要求高BD，则只需求点D坐标，可采取待定系数法.

设点D(

则BD=x-5,y

由垂足D满足的条件

BD?

∴BD

∴|BD

方法二等积法

(思考：因为三个点A、B、C确定了，则可求出?ABC

∵A(1,-1,2)，B(5,-6,2)

∴cosA

∴S

∵SABC=

【点拨】我们利用空间向量的知识也是可以求出几何中常见的量：线段长度(两点距离公式)、角度(数量积)、面积等.

【典题2】如图，BC=4，原点O是BC的中点，点A(32,12,0)，点D在平面yOz上，且

【解析】∵点D在平面yoz上，∴点D的横坐标为0

过点D作DH⊥

依题意易得DH=4sin30

即点D的竖坐标为z=3，

∴|AD

【点拨】

①在空间坐标系中确定点的坐标是个硬骨头，基本方法是：

(1)根据题意求出各线段长度，比如CD、

(2)确定空间点坐标的意义，比如点D的竖坐标与点D到平面xOy的距离有关；

(3)把空间问题平面化；

(4)留意D坐标的正负.

②两点间的距离公式:若A(

则|AB

【典题3】如图，直角三角形OAC所在平面与平面α交于OC，平面OAC⊥平面α，∠OAC为直角，OC=4，B为OC的中点，且∠ABC=2π3，平面α内一动点P满足∠

【解析】(题中垂直关系较多，较容易建系描出各点坐标，进而数量积OP?CP易于用某个变量表示，再用函数的方法求其范围

∵平面OAC⊥平面α

∴作AO⊥OC，则AO⊥

过O在平面α内作OC的垂线OX

∵∠OAC为直角，OC=4，B为OC的中点，且∠ABC

∴BC=AB

OA=3，O

则O(0,-1,0)，A(0,0,3)，

设P(

(点P是动点，在坐标系中引入变量x，y，再由限制条件∠PAB=π3得到x

则AP=(x,

∴AP

∵∠PAB

∴AP

∴y+3=x2+y

∴OP

又∵x

∴y≥-1，(点P是有固定轨迹的，即y

∴当y=-1时，OP?CP

∴OP

故答案为[0,+∞)．

【点拨】

①由平面OAC⊥平面α可想到建立空间直角坐标系的方法，根据?

②而OP?CP由点P确定，能否求出其轨迹呢？而利用建坐标系的方法，较容易得到其轨迹(学圆锥曲线后也可知轨迹是抛物线

③从数量积坐标运算的角度得AP?AB=y+3，从数量积的定义AP

④由坐标运算易求OP?CP最小值化为

⑤