专题40 中考最值难点突破费马点问题（原卷版）.pdfVIP

专题40中考最值难点突破费马点问题（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

费马点问题解题技巧：旋转变换．

类型一费马点模型

典例1（2020秋•仓山区校级期中）如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝

120°，则点P叫做△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的和最小，称为△ABC的费马距离．

（1）若点P是等边三角形三条高的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．

（2）如图（2），分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．求证：P点

为△ABC的费马点．

（3）若图（2）中，AB＝5，AC＝4，BC＝a，BD＝b，则△ABC的费马距离＝．

针对训练

1．（2021春•滨海县期中）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B

点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）当M点在何处时，2AM的值最小，并说明理由；

（3）当M点在何处时，2AM+BM的值最小，并说明理由．

2．（2021春•历下区期末）【操作发现】

（1）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．

①请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B，点C的对应点为C′；

②连接BB′，此时∠ABB′＝°；

【问题解决】

在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：

（2）如图2，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的长．

经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋

转60°，得到△ABP′，连接PP′，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系．…请参考他们的想法，

完成该问题的解答过程；

【学以致用】

（3）如图3，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，且PA＝5，PC＝22，∠BPC

＝135°，求PB；

【思维拓展】

（4）注意：从以下①②中，你任意选择一道题解答即可．

①等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内部一点，若BC＝4，AP+BP+CP的最小值

＝；

②如图4，若点P是正方形ABCD外一点，PA＝3，PB=3，PC=15，求∠APB的度数．

3．（2019春•金水区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，点P为△ABC内一点．

（1）如图1，连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为

点D，A，E，连接CE．如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，CE＝．

（2）如图2，连接PA，PB，PC，当AC＝BC＝8时，求PA+PB+PC的最小值．

类型二费马点模型变式

典例2（2021春•碑林区校级期中）[问题发现]如图①，在△OAB中，OB＝3，若将△OAB绕点O逆时针

旋转120°得△OA′B′，连接BB．BB＝．

[问题探究]如图②，已知△ABC是边长为43的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC

内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q．求PA+PB+PC的最小值．

[实际应用]如图③，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S△PAD＝

2S△PBC，点Q为△ADP内的任意一点，是否存在一点P