《数值计算方法》课件8常微分方程的数值解法.ppt

8常微分方程的数值解法

（NumericalSolutionofOrdinaryDifferentialEquations）?本章主要内容8.1基本概念与基本求解途径8.2欧拉方法与局部截断误差8.3龙格—库塔法8.4单步法的收敛性与稳定性8.5线性多步法8.6一阶常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法8.7边值问题的差分方法简介?重点：欧拉法与龙格—库塔法、预测—校正技术?难点：各种方法的收敛性与稳定性8.1基本概念与基本求解途径?常微分方程的应用背景[桥梁扰度问题]设一根长为L的两端固定的矩形截面梁，q是均匀负荷强度，E是弹性模量，S是断点作用力，I(x)是惯性矩。则描述梁的桡度y(x)的数学模型是[电容充电问题]设q是电容器上的带电量，C为电容，R为电阻，U为电源的电动势。描述电容器充电过程的数学模型是[牛顿力学定律]设s是物体的位移，f是物体的受力，M是物体的质量，则是物体的速度，a是物体的加速度，牛顿定律可描述为一阶常微分方程的初值问题二阶常微分方程的初值问题二阶常微分方程的两点边值问题8.1基本概念与基本求解途径?常微分方程的数学模型一阶常微分方程初值问题的数学模型的一般形式二阶常微分方程初值问题的数学模型的一般形式两点边值问题（第一类边界条件）的数学模型的一般形式?数学方法及存在问题只有少数简单的微分方程能够用初等方法求得它们的解，多数情形只能利用近似方法求解。在常微分方程教材中的级数解法、逐步逼近法等都是近似方法，这些方法可以给出解的近似表达式，统称为近似解析法。但实际中遇到的常微分方程问题往往不能给出解析解，或者解析解不变于使用。如下面两个问题及解析解分别为解析解要用插值法或数值积分法求值要查指数表8.1基本概念与基本求解途径8.1基本概念与基本求解途径?微分方程的数值求解途径的数学模型数值方法的基本思想是离散化，即把求解区间[a,b]分成n等分（区间离散化），同时对微分算子离散化，求函数y(x)在n+1个离散的等距节点上的近似值，而不必求y(x)的解析表达式。初值问题的数值解法，就是寻求解函数y(x)在[a,b]的一系列等距的离散节点a=x0x1…xn=b处的近似函数值y0,y1,…,yn而不必求出解函数y(x)的解析表达式。其实质就是将常微分方程的解析性和连续性描述转化为数值性和离散性描述。?离散化的基本途径:差商法数值积分法Taylor展开法?几个概念近似值yi与精确值y(xi)单步法与多步法隐公式与显公式8.2欧拉方法与局部截断误差8.2.1欧拉方法1.欧拉公式及其几何意义称为显欧拉公式，又称向前欧拉公式或折线法。欧拉法的几何意义是明显的。隐公式计算困难但稳定性好8.2.1欧拉方法2.Euler公式的变形和改进用向后差商代替导数，即得到向后Euler公式，是一个隐公式，又称隐Euler公式。?隐Euler公式?梯形公式采用显Euler公式预测，梯形公式校正，可得改进的Euler公式?改进Euler公式隐公式有时可以显式计算，但通常需迭代计算。例8-1p1778.2欧拉方法与局部截断误差8.2.2单步法的局部截断误差和方法的阶?增量函数与单步法统一公式定义8-1整体截断误差y(xn+1)-yn+1定义8-2局部截断误差（局部化假设：在计算yn+1时，假设yn=y(xn)）定义8-3p阶方法或p阶精度-----依赖于局部截断误差O(hp+1)例8-2求显欧拉公式，隐欧拉公式和梯形公式的局部截断误差。例8-3p180求公式的阶及局部截断误差的主项8.3龙格—库塔方法8.3.1龙格-库塔方法的基本思想?通过对初值问题式（8-4）两边在[xn,xn+1]积分获取单步法公式?用定积分的左矩形、右矩形和梯形近似公式，可得到显、隐欧拉公式和梯形公式，分别为一阶和二阶公式，公式的阶与采用的积分公式的代数精度一致。?为获取高阶的公式，自然的方法就是在积分时在区间[xn,xn+1]取更多的点?实质就是：用若干点处的导数值的线性组合作为平均斜率?龙格-库塔法的一般形式德国数学家龙格和库塔提出的单步高精度方法平均斜率待定系数改进的欧拉公式8.3龙格—库塔方法8.3.2龙格-库塔方法的基本