2024—2025学年北京市顺义牛栏山第一中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市顺义牛栏山第一中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.若向量，，则向量与

A．不共线

B．垂直

C．平行

D．以上都不对

二、多选题

(★★)2.直线的一个方向向量（）

A．

B．

C．

D．

三、单选题

(★)3.直线在轴上的截距为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)4.圆关于直线对称的圆的方程是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知椭圆方程为：，则该椭圆的长轴长为（）

A．4

B．2

C．

D．

(★★)6.如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（）

A．1

B．

C．4

D．

(★★★)7.如图，过点P分别作平面，，截圆柱得到椭圆，，.其中，椭圆，所在的平面分别与上底面、下底面所成的锐二面角相等，设椭圆，，的离心率分别为，，，它们的大小关系为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)8.圆上的点P到直线的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★★)9.定义一个集合，集合中的元素是空间中的点，任取，，，存在不全为0的实数，，，使得（其中为空间直角坐标系中的原点）.若，则的一个充分条件为（）

A．

B．

C．

D．

(★★★★)10.已知曲线，则下列说法正确的有几个（）

（1）关于原点对称；

（2）只有两条对称轴；

（3）曲线上点到原点最大距离是1；

（4）曲线所围成图形的总面积小于；

A．1

B．2

C．3

D．4

四、填空题

(★★)11.直线与直线之间的距离为__________.

(★)12.已知椭圆的一个焦点为，则__________.

(★★)13.如图，空间四边形中，6条棱长都为，且，，则__________（用，，表示）.

(★★★)14.如图，把椭圆的长轴AB分成4等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，3个点，F是椭圆的一个焦点，则__________.

(★★★)15.已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．

①点到原点的最大距离是4；

②若是等腰三角形，则其周长为10；

③点的轨迹是一个圆；

④的最大值是．

五、解答题

(★★★)16.已知圆C的圆心在y轴上，若直线与圆C相切于点.

(1)求出圆C的标准方程；

(2)过原点的直线l被圆C截得的弦长为4，求直线l的方程.

(★★★)17.如图三棱柱中，侧面为菱形，对角线，相交于O，，.

(1)求证：平面；

(2)若，，，棱的中点为D，以棱CD，所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系（如图）.

①直接写出，的坐标；

②求异面直线与所成角的余弦值.

(★★)18.在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B.

(1)求轨迹C的方程；

(2)求斜率k的取值范围；

(3)当时，求A，B两点坐标.

(★★★)19.如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，.

(1)若为棱的中点，求证：直线平面；

(2)若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值.

(★★★★)20.已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4.

(1)求椭圆的方程；

(2)P是椭圆上不同于，的一个动点.

①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值；

②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明.

(★★★★)21.设，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：

，其中，设，令是，，…，中的最大值．

(1