2023—2024学年江西省九江第一中学高三上学期期末考试数学试卷.docVIP

2023—2024学年江西省九江第一中学高三上学期期末考试数学试卷

一、单选题

(★)1.按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则（）

A．60

B．65

C．70

D．71

(★)2.抛物线（其中）的焦点坐标是（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)3.已知空间中，是互不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

(★★★)4.记为等比数列的前n项和，若，，则（）．

A．120

B．85

C．

D．

(★★★)5.过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（）

A．

B．

C．或

D．或

(★★★)6.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）

A．32种

B．128种

C．64种

D．256种

(★★★)7.已知中，，点是边的中点，记．则当最大时，（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)8.已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

(★★★)9.已知函数，则下列说法错误的是（）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象关于点对称

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在上单调递减

(★★)10.若，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)11.已知函数f：R→R满足对任意x，y，z都有，则（）

A．

B．

C．函数为奇函数

D．函数为偶函数

三、填空题

(★★★)12.已知表示不超过的最大整数，例如：，方程的解集为，集合，且，则的取值范围是__________．

(★★★★)13.已知四面体满足，它的体积为，其外接球球的表面积为，则点在球表面的轨迹长度为__________；线段长度的最小值为______.

(★★★★)14.已知实数，且关于x的一元二次方程有实数根，则的最小值为__________________．

四、解答题

(★★★)15.已知函数

(1)当时，求的最小值；

(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．

(★★★)16.一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.

(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；

(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.

(★★★)17.如图（1）五边形中，，将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面.

(1)求证：；

(2)若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.

(★★★★★)18.设抛物线E：过焦点F的直线与抛物线E交于点当直线垂直于x轴时，.

(1)已知点（如图1）直线分别与抛物线E交于点，求证：直线过定点．

(2)如图2所示，设D为抛物线上的一点，过D作直线交抛物线于两点，过D作直线交抛物线于两点，且设线段与线段的交点为T，求直线斜率的取值范围．

(★★★★★)19.已知为有穷正整数数列，且，集合．若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．

(1)若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由；

(2)若，证明：；

(3)设，若，求的最小值．