求解微分方程.pptVIP

特征根是r1?r2?1,r3,4?微分方程的通解为：例解方程解特征方程r4?2r3?3r2?4r?2?0,r4?2r3?3r2?4r?2?(r?1)(r3?r2?2r?2)?(r?1)2(r2?2)。第63页,共76页，星期六，2024年，5月?解整系数高次代数方程一般用分解因式法和试根法，应注意以下特殊情形：(1)系数之和为零时，有根x?1；(2)奇偶项系数之和相等时，有根x??1；(3)如果方程有有理根则p是a0的因数，q是an的因数。习题(P340)：1(3)(6)(10)，2(2)(5)第64页,共76页，星期六，2024年，5月§8常系数非齐次线性微分方程第65页,共76页，星期六，2024年，5月?二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式：求方程(1)的通解，归结为求对应的齐次方程?本节只介绍当方程(1)中的f(x)取两种常见形式时用待定系数法求出特解y*的方法。y’’?py’?qy?f(x),p,q是常数(1)y’’?py’?qy?0的通解和(1)的一个特解。第66页,共76页，星期六，2024年，5月?f(x)是多项式Pm(x)与指数函数e?x的乘积，其导数仍然是同一类型，因此我们推测，特解具有形式y*?e?xQ(x)，其中Q(x)是待定的多项式。?将y*?e?xQ(x)，y*’?e?x[?Q(x)?Q’(x)]，y*’’?e?x[?2Q(x)?2?Q’(x)?Q’’(x)]代入方程(1)并消去e?x得：Q’’(x)?(2?+p)Q’(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)(2)一、f(x)?e?xPm(x)其中?是常数，Pm(x)是一个m次多项式。第67页,共76页，星期六，2024年，5月Qm(x)?b0xm?b1xm?1???bm?1x+bm，代入(2)式，比较同次幂系数，得到一个以b0,b1,…,bm为未知数的m?1个方程的方程组，从而可求出特解y*?Qm(x)e?x.2)?是特征方程r2?pr?q?0的单根，即?2+p?+q?0，但2??p?0，(2)式变为Q’’(x)+(2?+p)Q’(x)?Pm(x)，可见Q’(x)应是m次多项式且Q(x)的常数项可任取(不妨取为零)，令Q(x)?xQm(x)，用同样的方法可求出Qm(x)的系数b0,b1,…,bm.1)?不是特征方程r2?pr?q?0的根，?2+p?+q?0，要使(2)式两端相等，Q(x)必须是m次多项式第68页,共76页，星期六，2024年，5月3)?是特征方程r2?pr?q?0的重根，即?2?p??q?0,且2??p?0，(2)式变为Q’’(x)?Pm(x)，可见Q’’(x)应是m次多项式且Q(x)的常数项和一次项系数可任取，因而可令Q(x)?x2Qm(x)，然后用同样的方法求出Qm(x)的系数b0,b1,…,bm。结论：f(x)?e?xPm(x)时方程(1)有y*?xkQm(x)e?x形式的特解：当?不是特征根时取k?0，当?是单特征根时取k?1，当?是重特征根时取k?2。第69页,共76页，星期六，2024年，5月例求微分方程y’’?2y’?3y?3x?1的通解。解特征方程r2?2r?3?0有不等二实根?1,3。令y*?b0x?b1,代入方程得?3b0x?2b0?3b1?3x+1，??0不是特征根，Pm(x)?3x+1,m?1。比较系数得b0??1,b1?,特解y*??x?.方程的通解是第70页,共76页，星期六，2024年，5月??2是单特征根，Pm(x)?x,m?1。比较系数得特解y*?通解例求的通解。解特征方程r2?5r+6?0有不等二实根2,3，令y*?