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教学设计
课程基本信息
学科
数学
年级
高一
学期
秋季
课题
一元二次函数、方程和不等式小结与复习(1)
教学目标
1.通过本章的综合复习,理解并掌握不等式的性质,在使用不等式的性质证明不等式的过程中培养学生的逻辑推理能力。
2.通过拼凑法和分离参数法,培养学生的数学运算和逻辑推理数学素养。
3.通过数形结合解决恒成立问题,渗透数形结合的数学思想。
教学内容
教学重点:
灵活运用不等式的性质证明不等式。
2.灵活使用基本不等式的拼凑法解决最值问题。
3.用数形结合或分离参数的方法解决恒成立问题。
教学难点:
1.拼凑法的灵活使用。
2.恒成立问题向最值问题的转化。
教学过程
一、复习回顾
1.回顾本章的知识结构图
2.回顾不等式的性质和作差法的步骤
作差--变形--断号--结论
二、重点题型讲解
重点题型一:不等式及其性质
例1证明下列不等式:
(1)若a>b>0,c>d>0,则a2c>b2d;
(2)若a>0,b>0且a≠b,则ab2+a2b<a3+b3.
证明:(1)∵a>b>0,
∴a2>b2,
又c>d>0,
∴a2c>b2d;
(2)a3+b3-ab2-a2b
=a2(a-b)+b2(b-a)
=(a2-b2)(a-b)
=(a+b)(a-b)2
∵a>0,b>0且a≠b,∴a3+b3-ab2-a2b>0,
即ab2+a2b<a3+b3.
重点题型二:利用基本不等式求最值
回顾基本不等式的内容、使用条件以及应用类型
例1求函数的最小值。
当且仅当即x=3时等号成立,
所以y的最小值为-2.
例2在周长为定值P的扇形中,半径是多少时扇形的面积最大?
解:设扇形的半径为r,弧长为l,面积为S,因为P=2r+l,
所以扇形的面积为
当且仅当l=2r,即时,S可以取到最大值.
所以半径为时,扇形的面积最大,最大值为.
重点题型三:恒成立问题
例1命题“”为真命题,求实数a的取值范围.
解法一:,所以
即时,∵x=0时,y=2,∴命题恒为真;
(3)当a=0时,显然成立;
综上知a的取值范围为.
解法二:
当且仅当即时
等号成立,所以.
课后作业:完成本课时《课后练习》
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