第4讲 体积、面积、周长、角度、距离定值问题（解析版）.docx

第4讲体积、面积、周长、角度、距离定值问题

一、单选题

1．（2023·全国·高三专题练习）棱长为1的正方体中，若点P为线段上的动点(不含端点)，则下列结论错误的是（????）

??

A．平面平面 B．四面体的体积是定值

C．可能是钝角三角形 D．直线与所成的角可能为

【答案】D

【解析】在正方体中，为线段上的动点（不含端点），

，，，，平面，平面，

平面，平面平面，故A正确；

连接，

因为，平面，平面，所以平面，

因此四面体的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，

所以四面体的体积是定值，故B正确；

因为正方体的棱长为1，所以，

若是上靠近的一个四等分点，则，

所以，

此时，

因为，此时为钝角，是钝角三角形，故C正确；

过点作，交于，

正方体中平面，则平面，

平面，，直线与所成的角为，

设，则，有，，

中，，

而，故D错误.

故选：D.

2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在正方体中，P为棱AD上的动点．给出以下四个命题：

①；

②异面直线与所成角的取值范围为；

③有且仅有一个点P，使得平面；

④三棱锥的体积是定值．

其中真命题的个数为（????）

??

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】以为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的棱长为1，则，其中，

则，．

因为，所以，所以①正确；

因为，

所以，

当时，，此时异面直线与所成的角为；

当时，，

令，其中，

则，所以，

所以异面直线与所成角的取值范围为，

综上可知异面直线与所成角的取值范围为，所以②正确；

若平面，则，因为，，

所以．，

因为方程无实数解，所以不成立，所以③不正确；

在正方体中，点在上，且平面，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

因为平面，所以三棱锥的高为，

因为，所以④正确．

故选：C.

3．（2024上·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校联考期中）已知正方体每条棱所在直线与平面所成角相等，平面截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为，周长为，则（????）

A．不为定值，为定值 B．为定值，不为定值

C．与均为定值 D．与均不为定值

【答案】A

【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，

如图：与面平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，

可得平面与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，即等

设，则，∴，

∴，同理可得六边形其他相邻两边的和为，

∴六边形的周长为定值．

正三角形的面积为；

如上图，当均为中点时，六边形的边长相等即截面为正六边形时截面面积最大，截面面积为，所以截面从平移到的过程中，截面面积的变化过程是由小到大，再由大到小，

故可得周长为定值，面积不为定值，

故选：A.

4．（2023上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，下列说法正确的是（????）

??

A．三棱锥的体积不是定值

B．直线到平面的距离是

C．存在点，使得

D．面积的最小值是

【答案】C

【解析】对于A，分别是棱的中点，则，

因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，

所以，因为平面，平面，所以平面，

因为在上，所以点在平面的距离不变，而面积是定值，则三棱锥的体积不变，

即三棱锥的体积不变，故A错误；

对于B，因为，平面，平面，于是平面，

因此直线到平面的距离等于点到平面的距离h，

，

，，，

由，得，则，B错误；

对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，,

设，则，，，，

由，得，解得，

由于，因此存在点，使得，C正确；

对于D，由选项C得在的投影点为，

则P到的距离，

面积为，所以当时，取得最小值为，D错误.

故选：C

5．（2023上·河北承德·高三承德市双滦区实验中学校考阶段练习）在正方体中，若棱长为，，分别为线段，上的动点，则下列结论错误的是

（????）

A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为定值

C．平面平面 D．点到平面的距离为定值

【答案】B

【解析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则，

令，得，

令，得，，

对于A，，显然，

即，，

而，平面，因此平面，A正确；

对于B，由平面，平面，得，

因为，，平面，则平面，

于是为平面的一个法向量，，

设直线与平面所成角为，

则不是定值，B错误；

对于C，由选项A知平面，即为平面的一个法向量，

而，则，

即有，

又，平面，因此平面，

则平面平面，C正确；

对于D，显然，

因此点到平面的距离为，为定值，D正确.

故选：B

二、多选题

6．（2024·全国·高三专题练习）已知边长为2的等边三角形，点均在平面的上方，，且与平面所成角分别为，则下列说法