高考数学热点专题7之7与球有关的切与接问题（原卷版）.docxVIP

与球有关的切与接问题

思路引导

思路引导

一．与球有关的切、接问题的解法

1.旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

2.多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．

①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.

②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．

二．外接球8大模型秒杀公式推导

1.墙角模型

使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合

推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径

秒杀公式：

图示过程

2.汉堡模型

（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体

（2）推导过程

第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置

第二步：根据勾股定理可得

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

3.斗笠模型

（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上

（2）推导过程

第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h

第二步：在h上取一点作为球心O

第三步：根据勾股定理

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

4.折叠模型

使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠

推导过程微信公众号：钻研数学

第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O

第二步：计算

第三步：

（3）秒杀技巧：

（4）图示过程

5.切瓜模型

（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥

（2）推导过程：

第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON

第二步：

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

6.麻花模型

（1）使用范围：对棱相等的三棱锥

（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c

秒杀公式：

图示过程

7.矩形模型

（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边

（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

鳄鱼模型

使用范围：适用所有的棱锥

推导过程：

（3）秒杀公式：

（4）图示过程

内切球的半径---等体积法

推导过程

秒杀公式：

图示过程

特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式

母题呈现

母题呈现

技法1：几何体的外接球

【例1】（1）（2022·全国乙（理）T9）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A. B. C. D.

（2）（2022·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（）

A. B. C. D.

【解题技法】“接”的问题处理规律

(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．

①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.

②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．

【跟踪训练】

1.（2022·吉林省实验中学模拟预测）已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()

A.eq\f(7\r(14),3)πB．14πC．56πD.eq\r(14)π

2.（2021?甲卷T11）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为

A． B． C． D．

技法2：几何体的内切球

【例2】（2020?新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母