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连续傅里叶变换和离散傅里叶变换

网上关于从连续傅里叶变换推导出离散傅里叶变换公式的资料好

像比较少，博主查阅了不少资料，总结出了一个推导的思路，现在分

享给大家。

先给出连续傅里叶变换的公式：

正变换:

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傅里叶逆变换：

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下面，再给出离散傅里叶变换的公式：

正变换:

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逆变换

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表面上看，两道公式比较难联系起来，因为连续变换公式的积分

限和离散公式的求和范围就有着较大的差异，再者，连续逆变换公式

和离散逆变换公式前面的系数也有较大的差别。下面将通过公式推导

将这两种变换联系起来。

如果某函数f(t)在无穷区间上连续的，又满足f(t+2Pi)=f(t)，那么

f(t)的傅里叶变换可以写成

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那么上式也可以推出下面这个式子：

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这两个式子其实是等价的。下面简单正面一下这两道公式为什么

等价。

证明，假设有

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那么就有

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令

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就有

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上面公式当且仅当ω大于等于0，且ω为整数时成立。

联想一下，离散傅里叶公式的ω就是离散的，它的取值就是整数，

这种关系是不是很微妙？

现在开始推导公式

我们考虑积分

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以步长h=2Pi/N近似积分它，我们利用梯形积分法来近似代替，

即有

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其中，

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所以有

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还记得傅里叶级数公式吗？傅里叶级数公式就是

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其中，

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对于上面讨论的f(x)来说，假设其定义在(0,2Pi)

因此，

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利用上面讨论出的近似代替的原理，就有

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式中j虚数单位，因为频率ω也是离散的，所以这里用k代替了

频率ω.

上式还可以简化一点，写成如下的形式

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其中

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这里，令

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这就是离散傅里叶变换的公式了。那么离散傅里叶逆变换的公式

又是怎样呢，我们可以根据连续傅里叶逆变换的公式来写出。

首先给出连续傅里叶逆变换的公式：

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类似地，根据梯形积分近似代替的原理，容易写出离散傅里叶逆

变换的公式，有

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这里，将推导出来的正逆变换公式写在下面，有

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而本文开头给出的公式是

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对比一下可以发现一些微小的差异，一个就是1/N的位置的差异

（其实1/N的位置放在正变换还是逆变换都是可以的）。为什么会出

现这种差异呢？

主要原因是我是用

来开始推导正变换公式的,如果我用

推导的话，那么可以很容易想到1/N将不会出现在正变换公式里。

以上推导讲完了，那么究竟离散傅里叶变换和连续傅里叶变换有

什么关系呢？离散傅里叶变换的时间和频率都是离散的，而连续傅里

叶变换的时间和频率都是连续的，怎样将这种关系对应起来呢？这里

我谈谈个人的理解。我们知道离散傅里叶变换的存在是为了使得傅里

叶变换能够在计算机中进行运算处理，而计算机是没办法处理连续信

号的，所以唯有将连续信号进行离散化。如何离散化呢？根据上面的

公式推导，我们可以理解：假设有某个定义在（0,2π）的连续信号f

（t），对其进行采样，采样点数为N，利用梯形求积公式便可得到离

散傅里叶正变换公式了。

反正这个离散点数为N的信号序列，它得对应定义在（0,2Pi）的

假想的信号f(t)。这样对应起来，这个离散傅里叶变换的公式就好推出

来了。至于逆变换的公式的推导，则可以函数展成复指数形式的傅里

叶级数的公式推得。这里就不展开了。