专题06 分式与分式方程【考点精讲】（解析版）.docxVIP

专题06分式与分式方程

一、分式

分式概念

形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．

有意义的

条件

因为0不能做除数，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，则分式eq\f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)没有意义．

值为0

在分式eq\f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq\f(A,B)的值为0

分式的基本性质

分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)

约分

将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分

通分

将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分

二、分式运算

分

式

运

算

分式加减

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).

分式乘除

分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分

式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)

分式的混合运算

在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．

三、分式方程

分

式

方

程

定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程

解法

（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.

（2）常用方法：①去分母;②换元法.

（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.

（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.

（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.

运用

解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根

【考点1】分式的概念及有意义的条件

【例1】（2022·湖南怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】B

【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．

【详解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3个，故选：B．

【例2】分式的值为零，则x的值为………………（）

A.2B.﹣2C.±2D.任意实数

【答案】A

【解析】本题错解考虑到了分子－2为零，而忽视了分式有意义的条件——分母x＋2不为零.分式的值为零的条件应是分子为零且分母不为零，∴由－2＝0，解得x＝±2，又由x＋2≠0，得x≠﹣2，∴x＝2.还有分式无意义的条件是分母为零.

分式有意义、无意义和值为零的条件

（1）若分式eq\f(A,B)有意义，则B≠0

（2）若分式eq\f(A,B)无意义，则B=0

（3）若分式eq\f(A,B)=0，则A=0且B≠0

1．（2022·四川凉山）分式有意义的条件是（???????）

A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠0

【答案】B

【分析】根据分式的分母不能为0即可得．

【详解】解：由分式的分母不能为0得：，解得，

即分式有意义的条件是，故选：B．

2．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．

【详解】

解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；

B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；

C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意；

D、当x=-1时，，故不合题意；

故选C．

3．（2022·湖北黄冈）若分式有意义，则x的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据分式有意义的条件即可求解．

【详解】解：∵分式有意义，∴，

解得．故答案为：．

4．（2022·广西）当______时，分式的值为零．

【答案】0

【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0