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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)
专题26平面向量的概念及线性运算
必威体育精装版考纲
1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
基础知识融会贯通
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小,又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.
【知识拓展】
1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即eq\o(A1A2,\s\up6(—————→))+eq\o(A2A3,\s\up6(—————→))+eq\o(A3A4,\s\up6(—————→))+…+eq\o(An-1An,\s\up6(—————————→))=eq\o(A1An,\s\up6(—————→)),特别地,一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.
2.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则eq\o(OP,\s\up6(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))).
3.eq\o(OA,\s\up6(→))=λeq\o(OB,\s\up6(→))+μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
重点难点突破
【题型一】平面向量的概念
【典型例题】
已知点C(1,﹣1)、D(2,x),若向量(x,2)与的方向相反,则||=()
A.1 B.﹣2 C.2 D.
【解答】解:点C(1,﹣1)、D(2,x),
则(1,x+1),
又向量(x,2)与的方向相反,
则,解得x=1或﹣2.
∵向量(x,2)与的方向相反,
∴x=﹣2.
则||.
故选:C.
【再练一题】
在四边形ABCD中,,且?0,则四边形ABCD()
A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形
【解答】解:∵即一组对边平行且相等,
?0即对角线互相垂直;
∴该四边形ABCD为菱形.
故选:B.
思维升华向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度.
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.
(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任何向量共线.
【题型二】平面向量的线性运算
命题点1向量的线性运算
【典型例题】
在△ABC中,,则()
A. B. C. D.
【解答】解:∵;
∴;
∴.
故选:B.
【再练一题】
如图所示,△ABC中,,点E是线段AD的中点,则()
A. B.
C. D.
【解答】解:如图所示,
,,,,
∴.
故选:C.
命题点2根据向量线性运算求参数
【典型例题】
已知G是△ABC的重心,若,则()
A. B.
C. D.
【解答】解:如图,G是△ABC的重心,延长AG交BC于D,则:D为BC的中点;
∴;
又;
∴根据平面向量基本定理得,.
故选:A.
【再练一题】
如图,在?OACB中,E是AC的中点,F是BC上的一点,且BC=3BF,若m,其中m,n∈R,则m+n的值为()
A.1 B. C. D.
【解答】解:因为,,
所以,,
又,
所以m,n,
故m+n,
故选:C.
思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.
(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.
【题型三】共线向量定理的应用
【典型例题】
已知平面向量(l,x),(4,2),若向量2与向量共线,则x=()
A. B. C. D.
【解答】解:;
∵与共线;
∴12﹣4(2x+2)=0;
∴.
故选:B.
【再练一题】
在△ABC中,点P满足,过点P的直线与AB,AC所在的
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