专题31 等差数列及其前n项和-高考数学一轮复习(文理通用)（原卷版）.doc

专题31等差数列及其前n项和

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1.理解等差数列的概念．

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．

4.了解等差数列与一次函数的关系.

基础知识融会贯通

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.

3．等差中项

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

5．等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)或Sn＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.

数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，d0，则Sn存在最小值．

【知识拓展】

等差数列的四种判断方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)?{an}是等差数列．

(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列．

(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)?{an}是等差数列．

(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)?{an}是等差数列．

重点难点突破

【题型一】等差数列基本量的运算

【典型例题】

已知{}是等差数列，且a1，a4＝1，则a10＝（）

A．﹣5 B．﹣11 C．﹣12 D．3

【再练一题】

等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，S5＝35，则数列{an}的公差为（）

A．﹣2 B．2 C．4 D．7

思维升华等差数列运算问题的通性通法

(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．

(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

【题型二】等差数列的判定与证明

【典型例题】

设数列{an}满足关系式：a1＝﹣1，an

试证：（1）试求数列{an}的通项公式．

（2）bn＝lg（an+9）是等差数列．

（3）若数列{an}的第m项的值，试求m

【再练一题】

已知数列{an}、{bn}满足：a1，an+bn＝1，bn+1．

（1）求a2，a3；

（2）证数列{}为等差数列，并求数列{an}和{bn}的通项公式；

（3）设Sn＝a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1，求实数λ为何值时4λSn＜bn恒成立．

思维升华等差数列的四个判定方法

(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．

(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.

(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．

(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

【题型三】等差数列性质的应用

命题点1等差数列项的性质

【典型例题】

在等差数列{an}中，a1+3a8+a15＝60，则a2﹣a8+a14等于（）

A．10 B．12 C．11 D．﹣4

【再练一题】

已知等差数列{an}的公差不为零，且a2，a3，a9成等比数列，则（）

A． B． C． D．

命题点2等差数列前n项和的性质

【典型例题】

已知等差数列{an}，a1＝﹣2018，前n项和为Sn，，则S2019＝（）

A．0 B．1 C．2018 D．2019

【再练一题】

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，则使Sn取得最大值时n的值为（