专题28 平面向量的数量积-高考数学一轮复习（文理通用）（原卷版）.doc

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)

专题28平面向量的数量积

必威体育精装版考纲

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

基础知识融会贯通

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．

2．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影

|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影

几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

3.平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.

(2)a⊥b?a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).

(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).

(5)|a·b|≤|a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).

【知识拓展】

1．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角?a·b0且a，b不共线．

2．平面向量数量积运算的常用公式

(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.

(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

重点难点突破

【题型一】平面向量数量积的运算

【典型例题】

平行四边形ABCD中，∠BAD＝120°，||＝2，||＝3，，则（）

A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2

【再练一题】

若向量（2，3），（﹣1，2），则?（）＝（）

A．5 B．6 C．7 D．8

思维升华平面向量数量积的三种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

(3)利用数量积的几何意义求解．

【题型二】平面向量数量积的应用

命题点1求向量的模

【典型例题】

已知向量，满足||＝1，||＝2，（），则|2|＝（）

A． B． C．2 D．2

【再练一题】

△ABC中，AB＝5，AC＝10，25，点P是△ABC内（包括边界）的一动点，且（λ∈R），则||的最大值是（）

A． B． C． D．

命题点2求向量的夹角

【典型例题】

设、是夹角为60°的单位向量，则2和32的夹角为（）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【再练一题】

设与是不共线的两个向量，若平面向量xy（x，y∈R），则称数对（x，y）为向量在基底下的坐标，设基底向量（1．﹣1），（﹣1，2），平面向量，在基底与下的坐标分别为（﹣1，1），（3，2）．则向量与夹角的余弦值是（）

A． B． C． D．

思维升华(1)求解平面向量模的方法

①写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝eq\r(x2＋y2)即可．

②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝eq\r(a2).

(2)求平面向量的夹角的方法

①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，注意θ的取值范围为[0，π]．

②坐标法：若a＝(x1，y